【从一个引理的新证法谈起】费马引理证明

　　摘要:变更主元法体现了化归的数学思想,也说明了常量与变量的辩证统一的关系. 本文用这种方法证明了一个引理并通过几道例题从三个方面说明了它在解题中的应用,以达到开拓学生的思维空间,优化学生的思维品质,提高学生的解题能力.
　　关键词:变更主元法;化归的数学思想;应用
　　
　　在文献【1】中,汤正谊老师为了证明华罗庚留给读者证明的两个不等式,独具匠心地构造并证明了如下引理, 笔者读后很受启发. 现给出这个引理的另一种证法――变更主元法.
　　引理:设x≥u≥0,则有16(x-u)≤(1+3x)2-12u.
　　分析要证当x≥u≥0时,有16(x-u)≤(1+3x)2-12u成立,
　　即证当x≥u≥0时,16(x-u)-(1+3x)2+12u≤0…(1)成立.
　　设f(u)=16(x-u)-(1+3x)2+12u,0≤u≤x,
　　f ′(u)=16•••(-1)+12= -24+12 .
　　若0≤x≤, f ′(u)≥0,则f(u)在[0,x]上单调递增,
　　因此由0≤u≤x,得到f(u)≤f(x)=12x-(1+3x)2=-(3x-1)2≤0,
　　从而知,0≤x≤时,不等式(1)成立.
　　若x>,令f ′(u)=0,可得方程-24+12=0,即u=x-.
　　从下表即知f(u)≤max((f(0),f(x)). 对于f(x),由上面知道,
　　f(x)=-(3x-1)2≤0,再算f(0).
　　f(0)=16x-(1+3x)2.
　　要证不等式(1)成立,即证f(0)≤0即证(1+3x)2≥16x,x≥0…(2).
　　证明因为x≥0,所以不等式(2)等价于1+3x≥4x.
　　又1+3x=1+x+2x≥2+2x=2(+x)≥2•2=4x.
　　当且仅当x=1时取“=”. 所以f(u)≤max((f(0),f(x))≤0.
　　综上可知,无论0≤x≤或x>,只要0≤u≤x,恒有f(u)≤0,
　　即有(1)式成立,从而引理得证.
　　注:在含有n个变量的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元. 在某些特定条件下,我们若能变更主元,转移变元在问题中的地位,可使解题简单易行. 以上的解法中我们实际上是把u作为自变量x作为常量来求解. 这种“反客为主”的求解法,称为变更主元法. 它体现了化归的数学思想,也说明了常量与变量的辩证统一的关系.
　　下面我们通过几道例题,在教学中引导学生适当渗透这种“反客为主”的求解法,以达到开拓学生的思维空间,优化学生的思维品质,提高学生的解题能力.
　　
　　变更主元位置,简化复杂计算
　　例1若f(x)=(a-1)logx-6alog3x+a+1在a∈[0,1]时恒为正数,求实数x的取值范围.
　　分析本题形式上是关于log3x的二次函数,如果用换元的方法去讨论,明显较繁.若能变更主元把原函数看成是关于a的一次函数,问题便迎刃而解了.
　　解设关于a的函数
　　g(a)=(a-1)logx-6alog3x+a+1
　　=(logx-6log3x+1)a-logx+1,
　　原问题即为当a∈[0,1]时,g(a)>0恒成立,
　　即只需满足g(0)>0,g(1)>0
　　?圯-logx+1>0-6log3x+2>0?圯-1 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文