原型启发 原型启发在数学教学中的应用与思考

　　浙江武义职业技术学校 321200 　　 　　摘要：本文以教育心理学理论为依据，阐述了原型启发在数学课堂教学中的作用；结合生动的教学实例，着重从创设“原型”的问题情境启发学生领悟数学规律、依托原型进行联想探究发现数学新知识、把握题目的结构特征寻找“原型”开拓解题思路三个方面阐述了在数学教学中怎样利用“原型”进行启发的教学要领.
　　关键词：原型；启发；联想
　　
　　当我们进行创造性思考、解决问题时，往往会从其他事物中得到解决问题的启示，从而找到解决问题的方法和途径. 心理学上把这种具有启发作用的事物称作原型. 原型之所以具有启发作用，主要是因为原型与所要解决的问题之间有某些共同点或相似点，通过联想，找到解决问题的新方法. 可见，所谓原型启发就是指人们在解决问题的过程中，从某种事物与待解决问题之间的某些共同点或相似处看出解决问题的途径的思维方法. 由此可知，原型启发在引导学生探索数学知识、创造性地解决问题中起着重要的作用. 在数学教学中我们往往通过原型进行联想或类比来发现数学规律和找到解决问题的方法.
　　
　　[⇩]创设原型情境，领悟数学规律
　　新课程理念倡导积极主动、勇于探索的学习方式，指出数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识. 因此，数学概念、结论的得出不应由教师直接给出，而是在教师精心创设的问题情境中，通过学生自己的探究得出. 这就经常需要教师用恰当的原型材料创设情境，使学生从原型中获得启发，探求出解决问题的方法.
　　例1推导等差数列的求和公式.
　　在推导等差数列前n项和的公式之前，我说：“伟大的数学家高斯在小时候就表现出非凡的数学才能，在他十岁的时候，一天老师让学生们做一道从1加到100的加法题，高斯很快就得出了答案，其中用了一种巧妙的方法. 同学们，你们能像高斯一样想出巧妙的方法，很快得出结果吗？能运用这种方法求出等差数列前n项和的公式吗？试试看. ” 学生积极思考从1加到100的方法，再用这种方法推导出了等差数列求和公式. 这里，高斯所使用的方法与等差数列求和公式的推导方法在本质上是一样的，正是这种相似性启发了学生的思维，导出了公式.
　　例2数学归纳法的教学.
　　数学归纳法的思想方法比较特殊，学生往往难以理解. 怎样在教师的引导下，由学生自己领悟出数学归纳法的精髓？我在教学实践中采用了生活中的“多米诺”骨牌效应作为原型，启发学生思考，收到了较好的效果.
　　先给出问题：怎样证明1+3+5+7+…+（2n�1）=n2对任意自然数n都成立？由于自然数列的无穷性，我们当然不可能对所有的自然数一一验证，怎么办呢？这时通过电脑演示“多米诺”骨牌效应，同时在桌子上用若干块木牌代替“多米诺”骨牌进行实验，让学生分析“多米诺”骨牌游戏能够进行下去的条件. 通过讨论得出：（1）第一张骨牌必须被推倒；（2）两张骨牌之间的间距要恰当，即如果第k张骨牌倒下必定有第k+1张骨牌倒下，这样所有的骨牌终将全部倒下. 再启发：“把多米诺骨牌效应得以进行下去的原理应用到前面问题的证明上，可以得到什么方法？” 经过讨论，学生明白了：第一个条件相当于验证所证等式当n=1时成立，第二个条件相当于如果当n=k时等式成立，则必有n=k+1时等式也成立. 上述问题情境使学生领悟到了数学归纳法的本质，认识到（1）是递推的基础，（2）是递推的依据，两者缺一不可. 在这里，正是由于“多米诺”骨牌效应的原理这一原型与数学归纳法证题方法的相似性，使学生较好地领悟并理解了数学归纳法的证题方法.
　　[⇩]依托原型联想，体验发现乐趣
　　数学知识的高度系统性的特点决定已有的知识常常成为某一新知识的原型和依据. 依托这些已有知识的“原型”，进行充分的联想，常可把已知的数学知识拓展，得到新的数学概念和定理. 例如，以一元二次不等式（x－a）（x－b）>0的区间分析法解法为原型，可以得到（x－a1）（x－a2）…（x－an）＞0的解法，两个正数的均值定理可以推广为n个正数的均值定理，平面向量的许多性质可以推广到空间向量中去，由平面几何的一些性质为原型，可以得到相应的立体几何的定理等等. 教学中教师要抓住有利时机，恰当设置原型，诱发学生联想和类比，发现和解决数学问题.
　　例3教学球的截面性质.
　　先重温平面几何中圆与弦的性质：（1）圆心和弦中点的连线垂直于弦；（2）圆心到弦的距离d与圆的半径R及弦长的一半r之间有关系式：d=. 然后启发：我们知道，一些平面几何的性质可以推广到立体几何中去，那么圆的这一性质能否推广到球里呢？通过思考，学生知道球的截面是圆面，画出并仔细观察球的截面图形后，发现球的截面与圆有相类似的性质：（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间有关系d=，并得到了证明.
　　我趁热打铁：我们知道，圆内接三角形以正三角形的面积最大，圆内接四边形以正方形的面积最大，想象一下，这个性质推广到球能得到什么结论？学生经过热烈讨论得出：
　　1. 在球的内接四面体中，以正四面体的体积最大；
　　2. 在球的内接长方体中，以正方体的体积最大；
　　3. 在球的内接圆柱中，以等边圆柱的体积最大；
　　4. 在球的内接圆柱中，以等边圆柱的侧面积最大；
　　5. 在球的内接圆锥中，以等边圆锥的体积最大；等等.
　　当然，这样类比得出的结论不一定都是对的，我让学生课后自己去验证一下，得知上面的结论3不对，应当是当球的内接圆柱的高是底面圆半径的倍时，体积最大. 我告诉学生，可以用另外的方法判断结论5也不对.
　　在上面的教学过程中，重要的不是学生能够得出一些知识结论，而是在教师的启发下，由学生根据原型的特征去联想、去创造，科学地提出问题和解决问题，同时，也让学生体验到数学发现的乐趣.
　　
　　[⇩]寻找原型启示， 开拓解题思路
　　前面讲的学生发现数学新知识的过程可以归纳为原型→联想→发现，这里，原型经常是由教师给出的. 但在学生独立解题时，却是要自己寻找原型，获得解题的方法. 原型出现的诱因，经常是数学问题结构上的特征与原型之间的一些相似之处，以此诱发新的解题方法的产生. 因此，学生的解题过程经常是分析→原型→解决，即分析题目的结构特征，寻找原型，最后获得问题的解决. 因此，学生在解题时，头脑中是否存在与待解决问题有相似之处的原型，以及头脑中是否想到这样的原型，就显得非常重要. 这就需要教师在解题教学中，对学生进行分析题目的结构特征，寻找解题原型的训练.
　　例4求函数u=的值域.
　　分析1把原式化为sinθ－ucosθ=2u，由这一形式结构联想到：（原型一）
　　asinα+bcosα=sin（α＋φ）， 化成一个角的三角函数形式，然后利用正弦函数的有界性求解.
　　解法1 原式化为sinθ－ucosθ=2u，则有sin（θ＋φ）=2u，所以sin（θ＋φ）=. 由sin（θ＋φ）≤1，得出所求函数的值域是
　　－，
　　.
　　分析2原式变为ucosθ－sinθ+2u=0，可以把它看成是：（原型二）直线ux－y+2u=0，问题就转化成由直线与圆x2+y2=1的关系求u的取值范围.
　　解法2原式变为ucosθ－sinθ+2u=0，令x=cosθ，y=sinθ，有ux－y+2u=0. 因为x2+y2=1，故直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d=≤1，从而得解.
　　分析3根据u=的结构特征，改写为u=，就得到了：（原型三）u是点P（cosθ，sinθ）与点A（-2，0）连线的斜率. 问题就转化为根据直线与圆的关系，求斜率u的取值范围.
　　解法3原式化为u=，令x=cosθ，y=sinθ，则x2+y2=1.
　　故u是点A（－2，0）与圆x2+y2=1上任意一点连线的斜率. 设过点A的直线方程为y=u（x＋2），由圆心到直线的距离d==1，得到斜率u的最大值和最小值分别是和－，故所求函数的值域是
　　－，
　　.
　　教学实践中我意识到，把原型启发运用在解题教学上要注意两点，一是学生头脑中是否有解题所需要的“原型”存在，一般来讲，原型储备越多，原型启发就越容易实现；二是看学生当时思维活动的状态如何，如果学生的思维活动处在一种积极的状态，那么常常更有利于原型启发发生作用. 在数学教学中，我们教师不但要善于利用原型启发引导学生思考，而且要经常有意识地对学生进行原型启发的训练，促使学生在遇到问题时能找到恰当的原型，启迪思维，找出解决问题的方法.
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