转变学习方式，培养探究意识|

　　浙江丽水外国语实验学校323000 　　 　　摘要：展示“关于三角形解的个数问题”的教学片段，暴露学生学习中的认知困惑，展现教师“设疑――激疑――质疑”的教学策略，揭示数学学习中学生进行知识建构的一般过程及特点，尝试将数学学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，阐明教师与学生在知识探究过程中各自所处的地位及相互关系，并对教师和学生在课堂中的行为表现从理论和效果两个层面加以反思和总结.
　　关键词：数学教学；学习方式；引导；探究；再创造
　　
　　高中新课程人教A版数学必修5的“1.1 正弦定理和余弦定理”中，已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时关于解的个数的讨论是教学难点，对这一问题处理得恰当如否，不但直接影响到教学效果，而且稍不注意，还有可能会造成学生机械记忆结论的被动学习局面，对学生的能力发展极为不利. 根据新课程“以学生发展为本”的教学理念，结合以往的教学实践，笔者进行了一次有益的教学尝试. 以下是课堂教学片段和自己的体会.
　　
　　[⇩]（部分）课堂教学实录
　　1. 设疑――引发认知冲突
　　在学习“1.1 正弦定理和余弦定理”的第三课时，一上课，教师便给出以下问题：
　　问题一在△ABC中，已知a=22 cm，b=25 cm，A=133°，解三角形.
　　教师指定一学生演板如下：
　　由正弦定理，得sinB==≈0.8311，
　　因为0°a⇔B>A=133°，一个三角形中不可能有两个钝角，所以此题无解.
　　师：在△ABC中，已知a、b及A解三角形时，你能说出什么情况下有解或无解吗？
　　生1：当b≥a时无解；当b　　生2：错！第一节老师讲的教科书P4的例2（在△ABC中，已知a=20 cm，b=28 cm，A=40°，解三角形）也是b≥a，却有两解.
　　生3：我认为当b≥a时，有B≥A，因此，若A为直角或钝角时，无解；若A为锐角时，有解.
　　2. 激疑――讨论交流
　　对生3的回答，教师没有作过多的评价，而是要求同学们求解下列问题：
　　问题二在△ABC中，已知a=2，b=6，A=60°，解三角形.
　　学生发现此题无解.
　　师：此题满足生3所说条件，为何无解？
　　生4：虽然b≥a，但由正弦定理，sinB==>1，所以此题无解.
　　师：你对生3的回答有何看法？
　　生4：我认为在△ABC中，已知a、b及A解三角形时，不但要对角A的大小进行分类，而且要对a、b的大小及sinB的取值是大于1、等于1、还是小于1进行讨论才能确定三角形有解或无解.
　　师：很好！下面就请同学们对这一问题做进一步的讨论.
　　此时，学生的学习热情异常高涨，求知的欲望溢于言表. 经过同学们激烈的讨论与交流，很快便得到了问题的答案. 最后，教师把学生讨论得到的结果归纳并板书：
　　在△ABC中，已知a、b及A解三角形时：
　　（1）若A为锐角
　　a≥b时，一解
　　aa（即sinB>1），无解
　　（2）若A为直角或钝角a>b时，一解
　　a≤b时，无解
　　在教师的引导下，学生还画出了以上各种情形下三角形解的图示（略）. 到此，学生体验了一次成功的学习经历，脸上洋溢着幸福的微笑.
　　为了及时巩固所学知识，紧接着，教师给出以下问题：
　　问题三在△ABC中，已知下列条件，判断三角形解的个数：
　　（1）a=2，b=6，A=30°；（无解）
　　（2）a=4，b=4，A=30°；（2解）
　　（3）a=1，b=2，A=30°；（1解）
　　（4）a=3，b=，A=120°.（1解）
　　利用本节知识，几乎所有的学生都能迅速作出正确的判断.
　　3. 质疑――引申探究
　　师：请求出问题三第（2）题中的c边长.
　　学生练习后，教师让学生说出解题思路.
　　生5：由正弦定理，得sinB===，
　　所以B=60°或B=120°.
　　当B=60°时，C=90°，此时c==8；
　　当B=120°时，C=30°，同理可得c=4.
　　师：很好！本题还有其他解法吗？
　　生6：可用余弦定理求解.
　　由a2=b2+c2－2bccosA，得
　　42=（4）2+c2－2×4ccos30°，
　　即c2－12c+32=0，
　　所以c=8或c=4.
　　师生们对这位同学独辟蹊径的简洁解法表示充分的肯定和佩服，同时教师要求学生再用此方法分别求出问题三第（3）、（4）小题中的c边长，并由两位学生演板.
　　第（3）题解析由余弦定理，得a2=b2+c2－2bccosA，
　　即12=22+c2－2×2ccos30°，c2－2c+3=0，
　　所以c=.
　　第（4）题解析由余弦定理，得a2=b2+c2－2bccosA，
　　即32=（）2+c2－2ccos120°，c2+c－6=0，
　　所以c=或c=－2（舍去）.
　　师：由此看来，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解，而且用余弦定理更简洁. 那么在用余弦定理解三角形时，如何确定解的个数呢？
　　教师再一次地将学生的思维引向深入，课堂气氛又活跃起来，争论异常激烈. 有的学生认为需要按构成三角形的三边所满足的条件对求得的结果进行检验，有的学生认为不需要检验，解关于c的一元二次方程求得的正根一定符合条件，这点可由问题三第（2）、（3）、（4）题的解答看出.
　　此时，教师针对双方的争论因势利导，指出：持后一种观点的同学，需要证明问题即“在△ABC中，已知a、b及A，若c是方程a2=b2+c2－2bccosA的正根，则a、b、c一定能构成三角形”的正确性，你们的结论才有说服力.
　　学生求知的欲望又一次被调动起来，持两种观点的学生都想通过自己的努力去说服对方，课堂气氛呈现出前所未有的良好局面. 这时，持同种观点的学生干脆几人凑在一起，自发地形成若干小组，相互间讨论交流起来，努力寻求问题的答案. 突然，一小组同学异常兴奋地叫起来：“老师，我们已经证明了上述问题是正确的.” 教师让一名代表上前演板.
　　证明设c是方程a2=b2+c2－2bccosA的任一正根，
　　由0°　　又a>0，b>0，
　　所以b2+c2－2bc 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　在△ABC中，a=x，b=2，B=45°.
　　（1）若该三角形有两解，求x的取值范围；
　　（2）若该三角形只有一解，求x的取值范围.
　　……
　　
　　[⇩]教学体会与反思
　　1. 转变学生的学习方式，让学生成为知识的主动建构者
　　丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是《普通高中数学课程标准（实验）》追求的基本理念，该理念认为学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受等被动学习方式，强调应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等主动学习方式，让学生成为知识的主动建构者. 在传统教学中，对这部分内容的教学，多数是由教师向学生讲解并归纳三角形解的个数的各种情况，其结果造成由于学生死记结论而不能灵活运用的现象屡屡发生. 而在本案例中，教师一改原来的做法，通过三个简单的问题情境，由特殊到一般，循序渐进地引导学生经历认知冲突、讨论交流、引申探究等学习阶段，让学生通过亲身体验，去发现问题，再通过独立思考、合作探究等学习方式，去解决问题，获得规律和结论，从而主动完成数学知识的建构，体现出以教师为主导、学生为主体的教学原则，真正实现了教师教学观念的更新和学生学习方式的转变. 在此过程中，学生的学习是主动的、积极的，实现了由“要我学”到“我要学”的转变，既培养了兴趣，又发展了能力.
　　2. 教师应注意加强自身的专业修养，做好教学的策划、组织和指导工作
　　《普通高中数学课程标准（实验）》指出：教师是学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者，应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料，有比较开阔的数学视野，并积累指导学生进行数学探究的资源. 新课程对教师的专业化成长提出了更高的要求，因此，教师只有不断地学习才能适应新的挑战，决不能因循守旧、故步自封. 在本案例中的引申探究阶段，正是由于教师巧妙地利用了教学智慧，才使得学生的思维一步步拓展和延伸，最终使他们获得结论，实现了思维的创新. 试想，如果教师在备课时没有进行相应的教学预设，或教师的专业功底不够扎实，当他突然面对生6的解答时，又会出现什么现象呢？如果教师是就题论题的话，那就会让学生浅尝辄止，从而使学生失去一次宝贵的探究数学规律的机会. 因此，教师要扮好导演者的角色，让我们的数学教学成为在教师指导下的，以学生独立自主学习和合作讨论为前提的数学探究活动. 教师要通过各种措施和途径，把学生数学学习过程中的发现、探索、研究等认知活动突现出来，使学生的数学学习过程更多地成为在教师引导下的学生发现问题、提出问题、解决问题的“再创造”过程. 教学中，教师要为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，增强学生学习的自信心和克服困难的意志力，培养学生独立思考的习惯、探索精神和合作意识，不断提高学生的数学能力和数学素养.
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