着眼点【找准数学题中隐含条件的“着眼点”】

　　江苏金湖教师进修学校211600 　　 　　摘要：本文将数学题中的隐含条件从多方位、多角度进行分析，并将其隐含条件运用到实际例题中，使题目难度降低，同时还就怎样挖掘题目的隐含条件提出了行之有效的解决方法.
　　关键词：挖掘隐含条件；解决数学难题；方法
　　
　　在某些数学命题的题设中，已知条件或欲求结论可能隐含某些信息，或在解题过程中所得到的结论也隐含有大小关系、取值范围等，我们称之为“隐含条件”. 学生在解题时往往会忽视隐含条件，造成解题错误，或者认为题目缺少条件而束手无策. 本文就怎样挖掘题中的隐含条件，捕捉解题的“蛛丝马迹”，谈一些我的个人意见.
　　
　　[⇩]挖掘定值
　　数学问题中的条件有的隐含在有关概念、知识及已知条件之中，含而不露，稍不留心便导致解题出错. 如某些字母初看似乎是一个变量，但经过分析推断才发现该字母是常数；另外有些已知条件中隐含着定值，这就需要我们去挖掘.
　　例1已知函数f（x）＝ax2+bx+c，有f（－1）=0，且对任意x∈R都有x≤f（x）≤（x2+1）成立，求函数f（x）的表达式.
　　解析由于对任意x∈R都有x≤f（x）≤（x2+1）成立，令x=1得f（1）=1，这就是题目隐含的定值，即有a+b+c=1；又f（-1）=0，即a-b+c=0. 联立得a+c=，b=，则f（x）=ax2+x+-a,
　　又f（x）≥x恒成立，即ax2-x+-a≥0恒成立，
　　所以a＞0，且Δ=
　　2-4a
　　-a≤0，
　　即a-
　　2≤0，故a=，b=，c=，所以f（x）= x2+x+.
　　例2△ABC的三边a，b，c和面积S满足关系S=c2-（a－b）2，且a+b=2，求面积S的最大值.
　　解析由三角形面积公式S=absinC，这里角C似乎是一个变量，事实上，由于S=c2-（a－b）2，由面积公式及余弦定理知：absinC=a2+b2-2abcosC-（a－b）2，
　　所以2ab（1-cosC）=absinC；
　　所以=，
　　故tan=，
　　可得sinC===.
　　又因为a+b=2，
　　所以S=absinC=ab≤
　　2=，当且仅当a=b=1时，Smax=.
　　
　　[⇩]挖掘定点
　　学生在解决部分解析几何题时感觉入手容易，但要完整解答却困难重重. 除基本功不扎实外，其中一个重要原因是他们没有挖掘出题中的隐含条件. 其中直线过定点就是一个值得注意的隐含条件.
　　例3 已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4与椭圆C：4x2+25y2=100，试证当m∈R时直线l与椭圆C必有两个公共点.
　　证明直线l即x+y－4+m（2x+y－7）=0，由于m∈R，要使此式恒成立，只须有x+y－4=0且2x+y－7=0，将二方程联立，解得x=3，y=1，即直线l恒过定点（3，1），由于4×32+25×12=61＜100，即点（3，1）在椭圆内部，故直线与椭圆必有两个公共点.
　　例4设A和B为抛物线y2=4px（p>0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
　　解析设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1=，x2=，由OA⊥OB得・=－1，
　　即・+y1y2=0，
　　所以y1y2=－16p2，
　　又因为A，B在抛物线y2=4px上，故y=4px1，y=4px2，二式相减得（y1+y2）（y1－y2）=4p（x1－x2），
　　所以直线AB的斜率为kAB==，故直线AB的方程为y－y1=・x-
　　，即y=x+y1－=・x+=（x－4p）（将y1y2=－16p2代入），故直线AB恒过定点Q（4p，0），设M（x，y），由于OM⊥AB即OM⊥MQ，故M的轨迹为以OQ为直径的圆，其轨迹方程为（x－2p）2+y2=4p2（x≠0）.
　　
　　[⇩]挖掘相等关系
　　有些数学题中隐含着等式关系，它提示了该类数学问题的本质，挖掘出这些等式关系，就是我们解答此类问题的切入点.
　　例5设f（x）=，则和式f
　　+f
　　+f
　　+…+f
　　的值是多少？
　　解析由f（x）= ，f（1-x）=，故f（x）+f（1-x）=1（配对等式关系），易得所求值为500.
　　例6已知tanα是方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根，求α的值.
　　解析观察一元二次方程的常数项为1，又tanα是方程x2+2xsecα+1=0的较小根，则方程的较大根是cotα（挖掘出等式tanα・cotα=1），
　　由于tanα+cotα=-2secα，
　　即=-，
　　所以sinα=-，
　　得α=2kπ+或α=2kπ-（k∈Z），
　　当α=2kπ+（k∈Z）时，
　　tanα=，cotα=；
　　当α=2kπ-（k∈Z）时，
　　tanα=-，cotα=-不合题意，
　　所以α=2kπ+（k∈Z）.
　　
　　[⇩]挖掘代数题中的几何背景
　　许多代数问题比较抽象，运算繁杂，若能挖掘出他们的几何特征，通过分析直观图形，容易找到解题的切入点.
　　例7已知函数f（x）=|x-b|+2在［0，+∞）上为增函数，则实数a，b的取值范围是 .
　　解析当a>0时，函数y=ax+2的图象如图1所示，而函数f（x）=ax-b+2是由y=ax+2左右平移得到的，若要f（x）在［0，+∞）为增函数，则需让y=ax+2向左平移或不移，则b≤0；当a0，b≤0.
　　[y][x][2][O][y=ax+2]
　　图1
　　例8设函数f（x）=-ax（a>0），解不等式f（x）≤1.
　　[O]
　　图2
　　解析不等式可变形为≤ax+1，令y=，
　　则y2-x2=1（y>0），又令y=ax+1，因此所求代数问题就变为直线l：y=ax+1，位于双曲线C：y2-x2=1上方时x的取值范围，这就是解题的切入点. 由于双曲线的一条渐近线的斜率为1，且直线l过双曲线顶点（0，1），根据图形直观分析知，当0　　，当a≥1时，不等式解集为｛x｜x≥0｝.
　　
　　[⇩]挖掘取值范围
　　要充分注意题设中给出概念的限制条件和变化范围，以及解题过程中得到的结论所隐含的取值范围，并适时利用，能减少解题中的失误.
　　例9已知sinθ，sin2x，cosθ成等差数列，sinθ，sinx，cosθ成等比数列，则cos2x的值为（）
　　A． B．
　　C． D．
　　解析sinθ+cosθ=2sin2x，sinθ・cosθ=sin2x，由此两式消去θ得4cos22x-cos2x-2=0，则有cos2x=，又由于sin2x=sinθcosθ≤，从而cos2x=1-2sin2x≥0，故可排除答案B，C，D. 即应选A.
　　例10 二次函数f（x）=ax2+bx+1（a>0，b∈R），设方程f（x）=x有两个实根x1，x2，如果x1-1.
　　证明设g（x）＝f（x）-x=ax2+（b-1）・x+1（a>0），由条件x10，
　　所以4a+2b－10，
　　所以-4a，
　　所以x0=－>=1－>1－= -1，所以x0>-1.
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