一道高考试题的探源及解法研究|导数试题与解法
江苏淮安中学223200 摘要：本文将探寻2008年高考江苏卷的第17题的源头并给出分别选用（1）中的两个函数关系后的一些解法（不同于参考答案），供参考.
关键词：函数；求解；最短
题目:如图1，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=20 km，BC=10 km. 为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO. 设排污管道的总长度为y km .
[D][A][O][P][C][B]
图1
（1）按下列要求建立函数关系：
①设∠BAO＝θ（rad），将y表示为θ的函数；
②设PO＝x（km），将y表示为x的函数.
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.
1. 试题探源
如图2，延长PO交AB于点Q，将图2进行演变得图3，再演变图3得图4.
[D][C][A][B][P][O][Q][P][O][Q][C][B]
图2 图3
[Q][O][P][B]
图4
至此，我们可以发现这道题源于苏教版数学选修1-1的P88第8题. 如图5，已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50 km，B，C间的距离为100 km. 从A到C，先乘船，船速为25 km／h，再乘汽车，车速为50 km／h，登陆点应选在何处，所用时间最少？
[B][A][C]
图5
2. 解法研究
不难得到（1）中的两个函数关系为：
①y＝－10tanθ＋10（0≤θ≤）；
②y＝x＋2（0≤x≤10）.
若选用y＝－10tanθ＋10（0≤θ≤），则有y＝10＋10（0≤θ≤）.
令t＝（0≤θ≤），有如下解法.
解法1由t＝得sinθ＋tcosθ＝2.
引进辅助角φ后得sin（θ＋φ）＝2，即sin（θ＋φ）＝.
因为｜sin（θ＋φ）｜≤1，所以
≤1，
解得t≥或t≤－（舍去）.
经验证，当sinθ＝，cosθ＝时，tmin＝，ymin＝10＋10.
此时，AO＝BO＝（km）. 故当污水处理厂建在矩形区域内且到A，B两点的距离均为 km时，铺设的排污管道的总长度最短.
解法2 注意到t＝是分式结构的，可以联想其几何意义为M（－cosθ，sinθ），N（0，2）两点所在直线的斜率. 因为0≤θ≤，所以－1≤－cosθ≤－，0≤sinθ≤，如图6，当直线MN与圆弧相切时斜率最小. 设直线MN的方程为y＝tx＋2，由＝1得t＝或t＝－（舍去），经检验当sinθ＝，cosθ＝时，t＝. 此时，可得AO＝BO＝（km），即当污水处理厂建在矩形区域内且到A，B两点的距离均为 km时，铺设的排污管道的总长度最短.
[N][M][x][y][-1][-][][O][2]
图6
解法3设tan＝u，则sinθ＝，cosθ＝，
代入到t＝，整理得t＝，可化为关于u的方程（t＋2）u2－2u＋2－t＝0.
因为t＞0，由Δ≥0，解得t≥.
经检验当sinθ＝，cosθ＝时，tmin＝.
此时，可得AO＝BO＝（km），即当污水处理厂建在矩形区域内且到A，B两点的距离均为 km时，铺设的排污管道的总长度最短.
若选用y＝x＋2（0≤x≤10），则有如下解法.
解法4 由y＝x＋2，得3x2＋（2y－80）x＋800－y2＝0.
由Δ≥0，得（2y－80）2－12（800－y2）≥0，
解之得y≥10＋10或y≤10－10（舍去）.
经验证当x＝10－时，ymin＝10＋10.
故当PO＝
10－ km时，铺设的排污管道的总长度最短.
解法5 由y＝x＋2，得y－x＝2.
令m＝y－x，m＝2（0≤x≤10）.
由m＝2（0≤x≤10），
得－＝1（0≤x≤10）.
如图7，作出直线m＝y－x及曲线－＝1（0≤x≤10），当直线m＝y－x与曲线－＝1（0≤x≤10）相切时，直线m＝y－x在m轴上的截距y最小. 由y－x＝2得3x2＋（2y－80）x＋800－y2＝0.
由Δ＝0得y＝10＋10或y＝10－10（舍去）. 经检验当x＝10－时，ymin＝10＋10. 故当PO＝
10－ km时，铺设的排污管道的总长度最短.
[m][x][m=y-x][10][O]
图7
解法6 由y＝x＋2，得＝＋.
如图8，设点M（x，0），G（10，10），直线l的方程为x＋m＝0.
过点M作MN⊥l于N，则MN＝，MG＝，＝MN＋MG.过G作GH⊥l于H,则MN＋MG≥GH，所以≥GH＝＝5＋5，即y≥10＋10（当且仅当M为GH与x轴的交点时取等号）. 而直线GH的方程为m－10＝（x－10），令m＝0，得x＝10－. 故当PO＝
10－ km时，铺设的排污管道的总长度最短.
[M][x][m][G][O][H][N][l]
图8
问泉哪得清如许，为有源头活水来.将课本题进行改编或以课本题为背景命制一些高考题已绝非偶然之举，从很多地区的高考试题中都能探寻到课本题的影子和足迹. 如何利用课本题这一鲜活资源进行有效教学很值得研究. 其实，在教学过程中，不妨通过一题多变、一题多练、一题多解等做法，让学生领悟数学的本质，达到触类旁通，举一反三的效果，使学生的知识与技能得以巩固和提高. 我们坚信，将课本题讲好、变好、解好、练好就是一件不简单的事.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文