研究替换策略　凸显替换价值 替换策略

　　苏教版六年级上册“解决问题的策略(替换)”是在学生四、五年级学过解决问题的几种策略(列表、画图、列举、还原等)的基础上实施教学的。该单元共安排了2个例题，分3课时进行教学，本课属于第1课时。“替”即替代，“换”是更换，替换的价值在于能使复杂的问题变得简单。本课教材中共选择了3个典型的实际问题：大、小杯装果汁的问题，大、小盒子装球的问题，钢笔、铅笔单价的问题。从编排意图来看，并不要求学生掌握太多实际问题的具体解法，而是侧重让学生感受到“替换”作为策略在解决问题过程中的价值。
　　特级教师徐斌执教的“解决问题的策略(替换)”一课，通过“创设问题情境一学生自主分析数量关系一组织小组讨论寻求策略一独立画图感悟思考一明确替换的真正价值”这样循序渐进、自然流畅的探索过程。使学生明确了倍比、差比两种不同类型的替换特征，在“提出实际问题一解决实际问题一回顾再认解题活动”的教学过程中，徐老师采用了回顾与分析、变式与对比、感悟与体验等渠道，逐步使学生理解和掌握替换策略，提升学生的数学思想。
　　
　　一、创设问题情境，激活相关经验
　　
　　(出示两幅天平图，引导学生观察思考)
　　师：这是一架平衡的天平，从图1中你能看出一个苹果的重量和一个梨的重量之间有什么关系吗?
　　生1：一个苹果的重量是一个梨的2倍。
　　生2：一个梨的重量是一个苹果的1/2。
　　师：根据图1和图2两幅天平图，能求出一个苹果和一个梨的重量吗?
　　生：一个苹果重200克，一个梨重100克。
　　
　　师：是怎样推想的?
　　生1：把图2中左边一个苹果换成两个梨，就成了4个梨重400克，可以求出一个梨重100克，再求出一个苹果重200克。
　　生2：把图2中左边两个梨换成一个苹果，就是2个苹果重400克，一个苹果就重200克，再求出一个梨重100克。
　　(课件动态演示把一个苹果换成两个梨或者把两个梨换成一个苹果)
　　师：在解决刚才这个问题时，大家用到了“换”的方法，这是数学中一种非常重要的策略――替换。(板书)
　　师：其实早在一千八百多年前就有一个叫曹冲的小朋友，用替换的策略演绎了一个生动的故事。你们听说过吗?
　　师：(出示曹冲称象的图片)曹冲是如何用替换的办法称出了大象的重量?
　　生：曹冲是用石头替换大象的。
　　赏析　正式学习用替换的策略解决问题，对学生来说虽然是第一次，但在他们的生活经验中已模糊地经历过类似的事件，只是还没有建立起一种完整的数学模型。所以，在课的引入部分，教师让学生经历“直观的天平图――感性的数形结合――抽象的推理计算”，并引入“曹冲称象”的故事，这就唤醒了他们头脑里的已有生活经验，为接下来的探究过程奠定了良好的心理准备和认知基础。
　　
　　
　　二、自主探索实践，研究替换策略
　　
　　出示例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯正好都倒满。小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升?
　　师：(教师在引导学生读题后思考)怎么理解“小杯的容量是大杯的1/3”?大杯和小杯容量的关系还可以怎样说?
　　生3：大杯容量是小杯的3倍。
　　生4：1个大杯可替换成3个小杯。
　　生5：3个小杯可替换成1个大杯。
　　师：现在能直接求出小杯和大杯的容量吗?
　　生：不能。
　　师：怎样用替换的策略来解决这个问题呢?
　　(学生互相交流)
　　师：先选择一种你喜欢的方式进行替换，在老师发给你的纸上画出示意图，然后根据示意图列出算式解答。
　　(学生画图，列式计算)
　　师：谁能把自己的方法介绍给大家?
　　(学生代表在投影仪上展示和介绍)
　　生。：我把1个大杯换成3个小杯。这样就有9个小杯，一共是720毫升，720÷9=80，可以算出一个小杯的容量是80毫升；80÷1/3=240，一个大杯的容量就是240毫升。
　　
　　生7：我是把6个小杯换成2个大杯，这样就有3个大杯，720÷3=240，先求出一个大杯的容量是240毫升；240x1/3=80，这就求出了一个小杯的容量是80毫升。
　　赏析如何将冰冷的美丽转化为学生火热的思考?如何在火热的思考中感受替换的过程?在教学过程中，徐老师先让学生自主分析数量关系，然后组织小组讨论寻求策略，接着独立画图感悟思考，最后师生交流。这一过程符合学生认知的规律，同时也体现了“数学教学是数学活动的教学”、师生在互动对话中建构数学模型的教学理念。换价值
　　师：求出的结果是否正确?我们可以从哪些方面人手进行检验?
　　(先让学生自由说一说，体会检验的全面性并在交流中明确：要看结果是否同时符合题目中的两个已知条件，即：看6个小杯和1个大杯的果汁是不是一共720毫升；小杯的容量是不是大杯的)
　　师：刚才我们运用什么策略解决了这个问题?
　　生：运用了替换的策略，
　　师：刚才在解决问题时，大杯和小杯为什么要替换?使用替换这个策略有什么好处?替换前后数量关系有何变化?
　　(学生讨论交流并明确：替换的目的就是把两种量与总量之间复杂的数量关系转化为一种量与总量之间的简单数量关系)
　　师：我们是根据哪个条件进行替换的?
　　生：根据小杯的容量是大杯的1/3进行替换的。
　　赏析　让学生不断体验替换策略的价值是本课教学的关键所在。替换的价值在哪里?为什么要进行替换?替换之后数量关系有什么变化?替换的依据是什么?把这些问题抛给学生去思考，一方面让他们再次感受到替换的思考过程，更重要的是明确了替换的真正价值在于使问题简单化。这是一种重要的数学思想。在反思的过程中：先让学生思考，计算的结果符合题目的条件吗?为什么要检验?为什么要从两个方面进行检验?教师再通过组织学生讨论与交流，让他们体会到结果必须要同时符合题中的两个条件，从而培养了学生思维的全面性。
　　
　　四、灵活进行变式，巩固替换策略
　　
　　师：如果题中条件改成“大杯的容量是小杯的4倍”，想一想怎样替换比较简便?
　　生8：把1个大杯替换为4个小杯比较方便。
　　生9：这样就变成了10个小杯，720÷10=72，每个小杯装72毫升：72x4=288，每个大杯装288毫升。
　　师：为什么不把小杯替换为大杯呢?
　　生1：这样替换的话，不能正好得到几个大杯。
　　生2：小杯替换为大杯，一共相当于2个大杯加半个大杯。
　　生3：我认为虽然替换的大杯个数不是整数，但是同样可以算出大杯的容罐 为720÷2.5=288。
　　师：大家说的都有道理，替换作为一种策略，不仅可以帮助我们进行实物操作，还可以帮助我们进行推理和计算。
　　师：如果把题中条件改成“大杯的容量比小杯多20毫升”，现在还可以替换吗?
　　(小组讨论)
　　组1：我们认为不好替换，因为不是正好装720毫升果汁，
　　组2：我们觉得好像可以替换，就是替换之后有可能720毫升果汁装不下
　　组3：我们也认为可以替换，不过替换之后也有可能不止装720毫升果汁。
　　师：是啊，表面上看好像不好替换，但是如果与替换的结果一起考虑，说不定有新的发现。请大家在练习纸上画图试一试，看能否解决问题。不过要特别注意思考――在替换时，果汁的总量会有什么样的变化?
　　(学生画图尝试，列式计算，在检验和交流中明确：把大杯替换成小杯，果汁总量变为720-20=700毫升：把小杯替换成大杯，果汁总量就变为720+6×20=840毫升)
　　师：这个题目与刚才的例题在做法上有什么不同?
　　生1：替换的依据不同。在例题中两个数量是倍数关系，在改变题中两个数量是相差关系。
　　生2：替换后的总量不同。在例题中替换后总量还是720毫升，在改变题中。替换之后的总量发生了变化，变多了或者变少了。
　　师：由于替换的依据不同，替换后的总量会不一样，如果我们观察替换前后杯子的个数，会有什么发现?
　　生1：倍数关系的替换，替换之后杯子的总个数变化了，变多了或者变少了。
　　生2：相差关系的替换，替换之后杯子的总个数没有变化。
　　师：同学们观察得真仔细!数学就是这么奇妙，在变化与不变中存在着内在的联系。
　　赏析　在学生初步学习了倍数关系的替换策略之后，徐老师抓住替换的依据组织进行变式训练，由“小杯的容量是大杯的1/3”改变为“大杯的容量是小杯的4倍”，再改变为“大杯的容量比小杯多20毫升”，让学生分别进行替换策略的巩固。当学生对两个数量成相差关系时能否进行替换产生不同意见时，徐老师适时组织学生讨论、辩论，从而使问题得到了解决。这样设计与教学的好处是，学生在比较中内化了已有知识结构，明确了倍比、差比两种不同类型的替换特征，充分调动了学生的探究欲望，不仅使其感受到数学的一种规律美，而且接触到了辩证唯物主义的原理。
　　
　　五、迁移拓展延伸，应用替换策略
　　
　　1　六(1)班50名同学和杨老师、杜老师一起去参观机器人科普展，买门票一共用去270元。已知每张成人票是每张学生票的两倍，每张学生票多少元?每张成人票多少元?
　　想：把它们都看成( )票，可以把( )张( )票换成( )张( )票。那么270元相当于买了( )张(　)票。
　　(学生独立审题，填写替换的方法，不必列式计算)
　　2　在2个同样的大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，每个大盒和每个小盒各装多少个?
　　想：如果把()个()盒换成( )个()盒，总个数比原来()(填“多”或“少”)( )个。
　　(学生先独立审题，再填空、列式解答：反馈时，重点让学生明确替换后总量发生了怎样的变化)
　　3　你能运用替换的策略解决这个问题吗?
　　铅笔的单价是多少元?
　　(部分学生看到就开始列式，部分学生没有马上列式，少数学生举手发问)
　　生1：这道题似乎缺少了条件?
　　生2：这道题目没有告诉我们铅笔和钢笔单价之间的关系，因此不好做。
　　师：聪明的同学善于发现问题!如果运用替换的策略，就需要明白替换的依据。那么，要想用替换的策略解决这个问题，可以补充什么样的条件呢?
　　生：可以补充倍数关系的条件，也可以补充相差关系的条件。
　　师：同学们可以在课后补充条件，相互解答，
　　师：在刚上课时，我们观察了天平图，采用替换的策略分别求出了两种水果的重量。现在我们继续观察天平图：第一幅天平图，它显示了两种水果之间的重量关系：第二幅天平图上，出现了第三种水果――菠萝：在第三幅天平图中，如’果在右边托盘里放一种水果，可以怎样放?
　　生1：可以放6个梨。
　　生2：可以放3个苹果。
　　生3：可以放一个半菠萝。
　　师：如果在右边托盘里放两种水果。可以怎样放?
　　生1：可以放1个苹果4个梨。
　　生2：可以放2个苹果2个梨。
　　生3：可以放1个菠萝2个梨。
　　生4：还可以放1个苹果1个菠萝。
　　师：在我们的生活中有很多这样的替换现象。老师真心希望同学们能用智慧的眼睛去发现它们，并能灵活运用替换的策略解决问题。
　　赏析　数学的真正价值在于发现生活中的问题，并能利用所学的知识去解决问题。数学又是思维的体操，思维的灵活性、开放性、应变性、全面性直接关系到学生学习能力的高低。本环节习题的设计层层深入，通过让学生自由选择替换方式说一说，巩固了替换策略的应用，再通过补充条件来加深对替换策略的理解。最后通过观察天平图，从两个量之间的替换上升到三个量之间的替换，学生的思维能力得到极大的提高与开发。在课的结尾让学生感受到替换的作用。去寻找生活中的替换现象，并从数学的角度去研究这些现象。
　　综观整堂课问题解决的过程，正是学生情感、态度、价值观及学习能力全面发展的过程。在这样的课堂上，学生不仅学会了用替换的策略理解题意、分析数量关系，还能根据问题的特点确定合理的解题步骤，在不断反思解决实际问题的过程中，感受替换策略对于解决问题的价值，增强了解决问题的策略意识，获得了解决问题的成功体验。短短40分钟，不仅内容丰满，而且方法精当，真个称得上教学“无痕”，精彩“有痕”。
　　
　　责任编辑　邓园生