近年中考中的镶嵌问题:镶嵌问题
镶嵌问题不是中考热点，它在各地中考题中时隐时现，处于几乎被遗忘的边缘．下面我们一起去探访一下这位“隐者”． 1 形似神异的镶嵌问题
例1 (2004，四川)如图1，某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面．第1次铺2块，如图① ；第2次把第1次铺的完全围起来，如图② ；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③ ；…；依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所用的木块块数为_____．
解析：观察所给图形，第1次镶嵌所用木块数为2块，即2+8×0；第2次镶嵌所用木块数(不包括第1次镶嵌所用的木块数)为12－2＝10块，即2+8×1；第3次镶嵌所用木块数(不包括第1次、第2次镶嵌所用的木块数)为30－12＝18，即2+8×2，……，于是得出规律：第n次镶嵌所用木块数为2+8×(n－1)块，即8n－6．
图2例2 (2006，枣庄非课改)如图2是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是______．
解析： 设右下方的等边三角形的边长为x，据题意，可得方程：x+3a=2x，解得x=2a， 所以 六边形的周长是30a．
点评：这两道题都是借用了镶嵌问题的衣钵，但其实质却分别是考查学生的探索规律、归纳总结的能力和利用方程思想解决问题的能力．
2 形异神似的镶嵌问题
例 (2006，龙岩三县非课改)如图3，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中∠α的度数是( )．
(A) 60° (B) 55°
(C) 50° (D) 45°
解析：由题意，三个形状、大小完全相同的等腰梯形三个底角(钝角)恰好拼成一个周角，易得底角(钝角)是１２０°，所以底角(锐角)是６０°．选(A)．
点评：这道题并没有点明是镶嵌问题，但它却很好地考查了镶嵌的基本要求：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加起来恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形．
3 形神兼备的镶嵌问题
3．1 考查正多边形能否镶嵌的判定
例4 (2007，福州)只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是( )．
(A) 正三角形
(B) 正方形
(C) 正五边形(D) 正六边形
解析：这是个镶嵌问题，要使几个正多边形在顶点处能够镶嵌，则这几个正多边形的内角之和应等于３６０°，由于正五边形的每个内角为１０８°，用三块拼出来的角度之和为３２４°，用四块拼出来的角度之和为４７２°，可见不论用多少块都不能拼成周角３６０°，故选(C)．
3．2 考查镶嵌的原理
例5 (2005,武汉)利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab≠0)，则a+b的值为(
)．
(A) 3或4(B) 4或5
(C) 5或6(D) 4
解析：设用x个正三角形，y个正方形可进行镶嵌，可得60°・x+120°・y=360°，
即x+2y=6． 因为x，y都是正整数，所以只有当x=2，y=2或x=4，y=1时上式才成立．所以选(B)．
3．3 考查拆与拼的互逆思维
6 (２００５，陕西)用边长为１的正方形纸板，制成一副七巧板(如图4(1))，将它拼成“小天鹅”图案(如图4(2))，其中阴影部分的面积是( )．
(A) 38 (B) 716 (C)12 (D) 34
(1)
(2)解析：经分析可知, “小天鹅”阴影部分恰好是图4(1)七巧板中的梯形，易知梯形的面积为38，故选(A)．
3．4 考查动手操作能力
(甲)例7 (2005， 浙江温州)小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图5(甲)所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图5(乙)所示)
(乙)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)．
解析：列举以下四种铺设的示意图供参考，如图6.
3．5 考查探究能力
例8 (2005，山东济南)我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案,也就是说,使用给定的某些多边形,能够拼成一个平面图形,既不留一丝空白,又不互相重叠,这在几何里叫做平面密铺(镶嵌).我们知道,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时,就能够拼成一个平面图形.某校研究性学习小组研究平面密铺的问题,其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时,用了以下的方法:
如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°x+120°y=360°，化简得x+2y=6，因为x、y都是正整数，所以只有x=2，y=2或x=4，y=1时上式成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重复的平面图形，如图7.
(1)请你仿照上面的方法研究边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图8中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图(只要画出一种即可)
(2)如果用形状、大小相同的如图9的方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图.
解析：这是一道研究性学习题目，要求学生熟练掌握平面镶嵌的特征．
(1)用x个正三角形，y个正方形密铺，可得
60°・x+90°・y=360°，即2x+3y=12，
因为x、y都是正整数，所以只有x=3，y=2时，上式才成立.
即用三个正三角形和两个正方形可以进行平面密铺.拼法如图10.
(2)用形状、大小相同的三角形，可以进行平面密铺.因为三角形的内角和是180°，而360°是180°的倍数，所以可以用六个三角形进行平面密铺，如图11.
点评：上面几道试题从多个角度考查了学生对镶嵌的理解，要求学生对镶嵌定义及同一种平面图形或者几种平面图形可以镶嵌的条件要有较好的理解．
以上我们从不同视角赏析了近几年中考中的镶嵌试题．试题题型多变，较好地考查了学生对镶嵌问题的掌握情况．相信在“生活数学化，数学生活化”的大背景下，镶嵌问题会以更多变、更新颖的形式展现在广大考生面前．
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