【巧思妙证不等式】巧思妙贴

　　不等式的证明方法很多,常用的有比较法、分析法、综合法、归纳法及运用均值不等式法，要求同学们必须熟练掌握，灵活运用。但因不等式的题型多样，技巧复杂，掌握一些典型的问题解答技巧，可起到事半功倍的效果。
　　1.构造函数
　　例1当时，证明：＞．
　　证明：设（）
　　则，
　　∴在 上是增函数，
　　∴当时，，即，故．
　　点评：要比较与的大小，只需构造函数，利用导数判断函数的单调性或求的极值即可．
　　2.数形结合
　　例2 设a＞0，b＞0，a＋b=1，求证：＋≤．
　　证明:所证不等式可变形为：≤2．
　　不等式的左式可认为是点A(，)到直线x+y=0的距离．
　　但因()2＋()2=4，故点A在圆x2＋y2=4(x＞0，y＞0)上．
　　如图所示，AD⊥BC，半径AO＞AD，即有：≤2，所以＋≤2．
　　点评：如果将待证不等式变形后发现，要证不等式与点到直线距离公式十分相似，此时可考虑挖掘要证不等式的几何背景，从直线与圆的角度突破解题关口．在这里，数形结合起到了桥梁作用．
　　3.借“1”转化
　　例3若a、b、c∈R+，且a+b+c=2，求证：.
　　证明：由，当且仅当取“=”，但a∈R+,故“＝”取不到，从而．
　　同理：；．
　　因此．
　　例4若且 a+b+c=1, 求证
　　证明:由a+b+c=1得
　　左=(a+b+c)()
　　=
　　=3++3=9=右。
　　证毕。
　　点评：“1”是我们最熟悉的数，在不等式证明中如能充分发挥“1”的桥梁作用，可出奇制胜．
　　4.利用向量
　　例5若x,yR，求证：(x+y)(+)≥4.
　　证明：∵22=|2||2|,令=(,)，=(,), 则22=|2||2|=(x+y)(+)，
　　又(•)2=[(,)•(,)]2=(1+1)2=4,
　　而22≥(•)2,因此(x+y)(+)≥4.
　　点评：利用平面向量的数量积中的不等式，也即|•|≤||||来证明一些不等式，也显得相当简捷。
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