《几何变换的妙用》教学预案|面积方法在几何计算中的妙用

　　【教学对象】八年级学生 　　【设计理念】“学以致用”作为学习的根本目标，反映在数学上，应该是以能否利用已有的教学知识来解决生活中的一些实际问题来作为掌握知识的评判标准。为把握这个思路，在设计课堂教学时，教师应要求学生不只是识记知识以及对解决问题的方法进行模仿，而是更加关注学生在解题中的思维过程。在这个过程中，让学生学会思考，培养学生分析问题、解决问题的能力。
　　【教学目标】
　　一、知识与能力目标
　　1.进一步理解几何变换中的轴对称性质；2.会利用轴对称的有关性质解决实际问题；3.学会知识迁移，构建几何模型，找出方法解决问题。
　　二、过程与方法目标
　　1.学生经过探索能够利用轴对称的性质解决实际问题；2.学生亲自经历“问题情景→建立模型→分析→解释及应用”的基本过程，体验数学知识在实际生活中的广泛应用。3.通过利用轴对称，解决问题的方法探究，培养学生对知识迁移、分析的能力。
　　三、情感态度与价值观目标
　　1.体会数学来源于实际，并运用于实际。数学无处不在，把实际问题抽象为数学模型，再运用于实际，以此来培养学生解决生活实际问题的能力和对生活的热爱及信心。
　　2.通过对建立数学模型来分析和解决生活中的实际问题，增强学生的自信心和获得成功体验。
　　【课前准备】多媒体课件，常用画图工具。
　　【教学重点】探索利用几何变换中的轴对称优化解决问题的方法及思路。
　　【教学难点】实际问题与数学模型之间的迁移及对问题的说理分析。
　　【教学流程】
　　一、提出问题
　　1．创设情景（课件出示问题“你知道田忌赛马的故事吗？”）。师：有没有听过“田忌赛马”的故事？谁能给大家说一下田忌是如何赢得比赛的？比赛的结果是否只有这一种可能？听到这里你有什么要向大家说的？（引导学生说出田忌的选择是一个优化选择，让学生自己体会问题可以进行优化处理，是一段有案例价值的课题片断。）
　　2．提出问题。例1：在路边（L）空地上，开发商准备建一个三角形住宅小区，A、B两幢建筑物恰好建在三角形住宅小区的两个顶点处，现要求小区大门建在路边且使小区周边最短。如果你是这个项目的总设计师，请确定小区大门C的最佳位置。
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　　设计意图：通过一个非常生活化的问题引入，使学生感到非常亲切、自然，拉近了数学与生活之间的距离，培养学生建立数学模型，解决实际问题的意识。
　　二、理解问题
　　1.学生读题
　　2.学生质疑
　　师：理解题意后，谁能说明一下题目对解答有哪些要求？通过师生交流为学生扫清理解上的障碍。
　　3.教师总结学生对题意的理解。理解时抓住四点：① 形状满足为三角形；② A、B两端做为此三角形小区的两个顶点；③ 大门C在马路L上；④ 小区围墙最短。
　　设计意图：准确理解题意是解题的关键，把握题目的层次也是一种重要的数学能力，通过让学生“读题→质疑→交流→分层理解”这样一个过程，培养学生的条理性及分析问题的能力。
　　三、研究问题
　　1．分层研究。（1）满足前三条要求，这样的大门C的位置有多少个？都在什么位置？（学生经过独立思考，可以说出有无数个C，都在L上，但不一定能指出A、B连线和L的交点不可以做为C的位置）。（2）第四条要求说的是什么意思？三条边中有没有固定不变的边？另两边的焦点问题是C点的位置，那么只需要满足什么条件就可以达到周边最短？（引导：① A、B固定，AB边长一定不变；② A、B、L固定，只须求AC+BC的最小值即可。）
　　2．独立思考。学生尝试解题，教师巡视指导，关注学生解题情况。（1）反馈：做出解答的同学，把答案画在黑板上（可能会出现正误不同的做法。如果出现均保留，随后进行对比；如果只出现正确解法，在说明后，教师给出错解，让学生对比。）（2）引导反思：你是怎样想的？如何做的？有什么依据？
　　四、深入研究
　　1.大家研究一下谁做的更符合题目最短的要求？谁的依据更充分？能不能找出一种方法来比较两种做法哪种更短？（教师提出要求：①研究时间为5分钟，围绕“哪种做法更短，为什么最短？”进行交流。②学生可以独立思考，可以同桌交流，也可以和老师交流。）
　　2．交流展示研究成果。估计学生可以用“两点间线段最短”或“三角形两边和大于第三边”来说明哪种更短，为什么最短？可以总结出类似问题用轴对称解决。（教师视学生回答情况作适当点评，对学生的疑问进行适当讨论，引导学生找出规律，并用规律验证“错解的错处”。）
　　3．学习小结，回顾学习过程，掌握方法，体验成功。设计意图：把实际问题准确迁移到数学模型上，是解决实际问题的前提条件，通过引导学生“审题→迁移→分析→解释”这样一个过程，培养学生迁移知识及分析问题的能力。在交流合作的过程中，让学生获得积极的情感体验。
　　四、应用拓展
　　例：一牧马人带马群从营房A出发，到草地MN放牧，再带马群到小河PQ去饮水，最后回到营房A.牧马人走哪条路线才能使整个放牧的路程最短？
　　
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　　1. 学生读题；2.质疑。
　　师：理解题意后，谁能用数学语言来描述一下题目要求？或者大致画出题目要求的路线也可以。（明确问题后，要求学生独立思考，找出正确的做法，进行交流，并能说明最短的原因。）
　　独立思考→合作交流→说明解释
　　3．教师提出要求：①研究问题3分钟；②围绕“应该怎么做？为什么要这样做？发现什么规律？”进行交流。
　　设计意图：培养学生应用规律独立解决问题的能力，由“合作研究→合理解释”这样一个分析过程，会让学生在学会合作解题的同时，提高说理能力。
　　五、课堂总结
　　通过这一节课的学习，你有什么收获？
　　六、逆向引导体会，给出本节课的题目《轴对称性质的应用》
　　七、课外延伸
　　例：一牧人带马群从营房A点出发，到草地MN放牧。傍晚到营房B之前，去带马群到小河PQ去给马饮水，牧人走哪条路线，才能使整个放牧的路程最短？
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