基于认知结构差异理论的数学教学的探究 认知差异理论

　　1 认知结构差异理论概述 　　 　　施万克（Schwank,1986）提出了特征性和功能性认知结构理论，此理论的结构见图1所示．� 　　 　　施万克指出：“不同的人在表现其认知结构时有着不同的偏爱．那些偏爱特征性认知结构的人，在问题情境中进行活动时优先表述活动对象间的静态关系，分析问题时把重点放在事物的结构及其描述上；他们在说明所实施的行动时，总是优先描述行动的实施和结果之间的关系；他们更善于去感受事物的精确性，对复杂过程的感觉和分析能力却比较弱．那些偏爱功能性认知结构的人，很少直接分析事物间的关系和事物的结构，而是对过程有着清晰的感受能力，善于对作用原理进行思考；他们很少能清晰、精确地去表达事物间的关系．” ［2］
　　施万克的认知结构差异理论说明：在考察问题时，个体会带上不同类型的“眼镜”，特征性思维者在认知上主要看到的是构成问题的特点与形状；功能性思维者在认知上主要看到的是构成问题的众要素的功能．问题编制的方式对人们的概念建构以及问题解决也有着重要影响，带上某种“眼镜”后个体会应用有助于自己思考问题的各种不同手段，提高行动效率．［1］
　　华东师范大学的徐斌艳教授对我国部分学生进行了相应的实证研究［1］表明：在解决问题的过程中，不同的外在表征形式，对于不同认知结构拥有者（特征性或功能性）起着不同的作用；特征性与功能性思维者对于外在表征的各种组成部分有着自己的偏爱．
　　目前我国的课程与教学的理论与实践较少考虑学生思维发展的特点，采用过分统一的方式方法进行教学．这必然会使部分不适应这种教学方式的学生的思维得不到充分发展；另外教材上对概念和问题的表述方式过分单一，无法让学生主动使用适合自己的最佳的认知工具，只能按照教材上规定的一种模式进行学习，这必将影响部分学生对知识的建构．
　　
　　2 基于认知结构差异理论的数学教学
　　
　　特征性思维者善于提出对象之间的关系，考虑物体的特征，所以那些表达状态和论证特点的谓词概念特别适合特征性思维者．相反功能性思维者善于使用那些描写过程和行为方式的谓词概念．
　　Keller和Hirsch研究指出，数学对象的多元外在表征能够具体形象地凸显一个数学对象的多元外在属性；能强化数学对象复杂性的一面，同时也可能淡化其复杂性的一面；能够便于不同认知结构学习者对不同表征的认知联接［3］．Janvier也指出：多元表征的恰当运用在一定程度上降低数学理解的难度，而且使得数学更具吸引力和趣味［4］．
　　根据认知结构差异理论，在数学教学中要重视对问题表征方式的研究，这有助于学生在数学学习中选择适合自己内在认知结构的外在表征方式进行学习，从而使个体的内在认知结构与外在表征产生共鸣效应，学生特有的思维方式得到充分的发挥，取得最佳的学习结果．
　　2．1 多元的外在表征代替单一的外在表征
　　对特征性认知结构来说，关系（特征）是主要的、不可分的构成结构的零件．当特征性思维者讨论行动时，会通过行动前与行动后两个状态间的关系来描述行动．他们所偏爱的外在表征方式是：以文字、符号、图表、具体物等形式存在的静态表征．
　　对功能性思维者来说，他们对所拥有的作用机制感兴趣，当其说明某些关系时，能够建立一种动态的“作用―原因”关系，会通过考察形成关系的过程来说明那些关系．他们所偏爱的外在表征方式是：以语言、流程图、图像、活动或实际情境等形式存在的动态表征．
　　根据学生认知结构有特征性和功能性的差异性．在数学教学中，可以通过触觉表征（如动手操作、实验等动作表征）、听觉表征（如教学的言语）和视觉表征（如书面语、课件动画等）［5］等多种方式来学习和理解数学概念．
　　例如，“二面角”是高中立体几何中的一个重要的概念，根据学生认知结构的差异性，可按如下的教学设计进行教学：
　　（1）二面角的定义
　　①呈现图片，导入课题: (图片表征――使学生对二面角的学习有一种感性认识)
　　修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度．为了解决一些实际问题，我们需要研究两个平面所成的角――二面角．
　　②提出问题，类比学习：(文本表征――以问题为出发点，引导学生进行类比学习)
　　问题1：平面几何中角的定义如何(二维空间)；在空间中二面角该如何定义(三维空间)?
　　③列表比较，掌握特征：（图表表征――引导学生从二维空间到三维空间角的类比联想，进行比较学习）
　　
　　（3）二面角的平面角的定义（文本、听觉、触觉表征――设计问题链，引导学生观察模型，并进行动作及思维操作）
　　问题2：所学过的角有哪些?它们是如何度量的?
　　平面角(量角器)；异面直线所成的角(平移为共面化归为平面角)；直线与平面所成的角(作射影，转化为平面角)．
　　问题3:能否也可用一个平面角来体现二面角的大小呢?如果能，用什么样的平面角能说明二面角的大小? （学生进行动手操作和思维操作）
　　
　　问题4:如图2(1)在棱L上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA, OB，此时∠AOB能否体现二面角的大小?（不行，这个角的大小不确定）
　　问题5：如图2(2)在棱上任取一点,在α半平面内作射线OA，能否用OA与平面β所成的角来度量二面角的大小?（不行，这个角的大小也是不确定的）
　　思考:对于图2(1)，只有当两条射线都与棱垂直时，角的大小才是唯一确定的，用这样的角可以体现二面角的大小；
　　对于图2(2)，只有当OA⊥l时，OA与平面β所成的角才是唯一的，可以用来度量二面角的大小．
　　综上，观察平面角所在平面与棱的位置关系如何? (互相垂直)
　　由此得出第三种度量二面角的方法：如图2(3)作棱的垂面γ，用垂面γ与二面角的两个半平面α、β的交线所成的角∠AOB，也能度量二面角的大小．由此引出二面角的平面角的定义． (操作：把打开的课本直立于桌面上，桌面与二面角两个半平面的交线所成的角可以说明二面角的大小．)
　　（4）二面角的平面角的作法（视觉、动画表征――归纳总结，形成概型）
　　问题6：如何度量二面角的大小?(用二面角的平面角来度量)
　　问题7：如何作二面角的平面角?（动画演示）
　　作二面角的平面角的常用方法（见图3）:
　　当点P在棱上――作垂直于棱的直线（见图3（1））；点P在一个半平面上――三垂线定理法（见图3（2））； 点P在二面角内――垂面法（见图3（3））
　　（5）用定义法求二面角的计算步骤：（抽象表征――精炼概括，形成模式）
　　步骤：一“作”二“证”三“计算”：找到或作出二面角的平面角；证明这个角就是所求的角；计算出此角的大小．
　　
　　在如上设计的教学中，从表征的感觉通道形式来看，有触觉表征、听觉表征、也有视觉表征．从表征的计算属性来看，有口语、文本等抽象表征，也有图表、图形等形象表征；从表征的存在状态来看，有静态的图片表征，也有动画等动态表征．口语、文本、逻辑表示等抽象表征，描述和表达了二面角相关概念的抽象、逻辑意义，而实物模型、图形、图表表征，描述了二面角具体的、形象的、直觉的意义．各种不同的表征为不同认知结构的思维者创造了条件，使他们能够选择适合自己认知结构特长的表征形式，使得内在擅长的认知结构与外在表征之间达到了一种共鸣．从而使学生更积极地参与了二面角相关概念的建构，通过学生的操作体验，能够更深刻地理解了概念的形成与意义，而不仅仅是对概念的简单记忆．
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　　在感觉系统中，功能性思维者对动态图像标记表征的信息有特殊的偏爱，因为这类图像标记表示了动态事件（系列运动、状态变化等），相反特征性思维者对一幅幅展示图像、状态、特征与物体之间的关系有特别的兴趣，因此容易激活他们的静态的图像标记．在教学中，针对不同认知结构思维者，可利用不同的图式表征来进行系统化、概括化的知识建构．
　　表格式表征就是用表格归纳知识的一种图式表征．它是基于对象――关系的静态的表征．通过表格中呈现的信息，发现知识间的联系或规律，使学生在比较中形成对知识的辨析，不仅有助于知识的掌握，而且还可以提高学生的概括总结能力．它适合于特征性思维者．
　　例如，综合复习相似与全等三角形的相关内容时，可利用表格式表征（见表2），通过列表对比，理解和领会“全等”和“相似”的关系及本质特征．
　　
　　流程图式表征就是用框图的形式来组织和阐述表达知识的一种图式表征．它是基于过程――功能的动态的表征．利用框图来组织、阐述知识，可以使学生把握问题的解决步骤、过程，它适合于功能性思维者．
　　例如，解含参数的不等式ax�2+bx+c＞0（或＜0＝的思维流程图如下（见图4）.
　　
　　表格式表征和流程图式表征各有其特点，分别适合不同认知结构思维者．教师在教学中要把两种表征方式相结合，让学生选择自己喜好的、适宜的表征方式，从而缩短思维过程，简约解决问题的思维长度，有助于学生对问题理解的准确性和深刻性．对同一问题向学生提供表格式和流程图式两种不同的表征工具，就为他们提供了发挥各自认知特点的学习空间，使其认知结构取向与外在问题表征形式产生了共鸣，就能取得最佳的学习效果．
　　2．3 几何表征和代数表征相配合
　　代数表征是指从代数的角度用数、式、方程和函数等代数工具对数学概念与问题进行表征［6］．代数表征重在对静态的数量关系的表征，抽象程度高，它能有效地促进学习者的抽象逻辑思维能力的提高．它更适合于特征性思维者．
　　几何表征是指从几何的角度用图形等几何工具对问题进行表征［6］．几何表征重在对动态的图像变化的表征．它直观形象，能为解题者提供更多的直觉信息，有效地促进问题解决者直观形象思维能力的发展．它更适合于功能性思维者．
　　这两种表征是从不同的视角对同一问题进行的不同的外在表象．在教学中，要注意将这两种表征形成结合起来，便于不同认知结构的学生选择相适宜的表征方式，使得学生能正确认清问题的内涵和外延，快速地寻找到正确的解决的策略，提高学习效率．
　　例如，对函数y=A�sin�(ωx+φ)（x∈R，A＞0，ω＞0）的图像及性质的学习，可采用如下的两种表征：
　　第一种方法（五点作图法――代数表征）：确定定义域→由诱导公式得周期性→作［0，2π］一段的图像：5点作图法（始点、极值点、拐点、终点）→作（－∞，∞）的图像．
　　这种方法是根据已学习过的y=�sin�x的相关知识，求出函数y=A�sin�(ωx+φ)的单调性、周期性、最大或最小值等代数性质，这些结果揭示了函数y=A�sin�(ωx+φ)相关的一些静态的数量关系．适合特征性认知结构型学生的学习．
　　第二种方法（几何变换法――几何表征）：作C�1：y=�sin�x，x∈［0，2π］平移C�2：y=�sin�(x+φ)伸长或缩短（纵坐标不变）C�3：y=�sin�(ωx+φ) 伸长或缩短（纵坐标不变）C�4：y=A�sin�(ωx+φ)，x∈［0，2π］平移C�5：y=A�sin�(ωx+φ)，x∈R.
　　此种方法运用几何表征，将函数y=�sin�x和函数y=A�sin�(ωx+φ)的图像进行对比，清楚地看到参数A，ω，φ的变化对函数图像的影响，以及相应的图像变化规律和函数的性质．适合功能性认知结构型学生的学习．
　　采用代数表征和几何表征互相配合的教学，一方面可以通过提供解决问题的多种表征，让不同认知结构类型的学生，选择他们所擅长的最合理的表征进行学习．另一方面代数表征和几何表征互相配合的教学，可以让学生正确认识问题的本质，促进学生形成对数学的整体认识，利于学生良好的知识结构的形成．
　　在数学教学中，采用多元的外在表征代替单一的外在表征、表格式表征与流程图式表征相结合及几何表征和代数表征相配合的教学方式，不仅能使学生特有的思维方式得到充分的发挥，而且便于学生使用适合自己思维方式的外在表征工具，来建构自己的数学认知结构，从而在数学教学中能真正实现“因材施教”的教学原则．
　　
　　参考文献
　　1 徐斌艳.学生算法概念建构中的认知结构研究［M］.上海:华东师范大学出版社,2003：9-10、35、144
　　2 Schwank I.Cognitive Structures of Algorithmic Thinking ［A］. In: Proceedings of the Tenth International Conference for the Psychology of Mathematics Education. London: University of London, Institute of Education,1986:195-200
　　3 Keller B A，Hirsch C R. Student Preferences for Representations of Functions［J］ International Journal of Mathematical Education in Science & Technology, 1998, 29 (1):1-17
　　4 Janvier C. Representation and Understanding: The Notion ofFunction as an Example［M］. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum,1987
　　5 唐剑岚.国外关于数学学习中多元外在表征的研究述评［J］.数学教育学报，2008，17（1）
　　6 姚元锦，张辅，孟世才.中学数学问题的代数表征和几何表征［J］.西南师范大学学报（自然科学版），2007，32（1）
　　7 张传伟.数学中“知识图式”在教与学中的意义［J］.数学通报，2004（10）
　　8 张传伟.数学的“问题表征”在“问题解决”中的意义［J］.数学通报，2003（12）
　　
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