负数 [趣谈负数]

　　负数是怎样产生的?传说古代有位庄主，为了大吉大利，他规定：从年初一到正月半，庄内上下人员只能讲“发”，不能讲“亏”；只能讲升高、增加、收入……，不准讲降低、减少、支出……这就难住了账房先生，庄里的粮食、银两经常要支出，怎样记账?他向宝华寺数海法师求教，法师一言不发，只给了一只阴阳葫芦，这位账房先生高高兴兴地回家，认为葫芦中必有锦囊妙计，“奇怪!”葫芦里空空如也，什么也没有，“葫芦中必有奥秘”，账房先生灵机一动：“看不清就用水灌，”想着想着，就向葫芦里灌了水，摇晃摇晃再倒出来，这时，他发现灌进去的是透明的“矿泉水”，出来却变成了红色的，聪明的账房先生恍然大悟，找到了解决难题的办法：用黑字记收入数，红字记支出数，现今会计记账，凡冲出的款项均用红色数字记录。
　　传说故事，很难考证，不过，负数的应用以我国为最早，这是世人公认的历史事实，约在西汉(公元前2世纪)，就已经使用赤筹表示正数，用黑筹表示负数(或者用三角截面的算筹表示正数，用矩形截面的算筹表示负数)，后来又改用正放的算筹表示正数，用斜置的算筹表示负数，在古书《九章算术》(公元1世纪之前)中，已经用正负数表示相反意义的量，运用负数解方程，书中明白地指出，卖物的钱数(收入)为正，买物的钱数(支出)为负；余钱数为正，不足钱数为负；运进的粮谷(“益实”)为正，运出的粮谷(“损实”)为负，等等，进而，给出了正负数概念的一般定义：“两算得失相反，要令正负以名之，”这是数学史上关于正负数的第一个广泛而概括的定义，是世界科学史上第一次突破了正数的范围，也是对负数第一次作出合理的解释，对在减法运算中减数大于被减数，书中采用负数来扩充减法的应用，并给出了世界上最早的正负数加减法法则，名为“正负术”。
　　到了元朝，数学家朱世杰写了一本《算学启蒙》(1299年)，又给出了正负数的乘除法法则。
　　负数也早为古希腊人所知，但他们解方程时却只限于正根，如果有负根出现，便认为是不合理的，在印度，最早提到负数是公元7世纪的事，他们用上方加“・”的数码表示负数。
　　在15世纪和16世纪，大多数欧洲数学家还不承认负数是数，或者即使承认了，也并不同意它作为方程的根，欧洲第一个给出负数正确解释的是斐波纳契，他在解决一个赢利问题时说：“我将证明这问题不可能有解，除非承认这个人可以负债，”1484年，法国学者给出二次方程的一个负根，而著名的德国数学家史提非在1544年还说负数是“无稽”的或“虚伪的零下”，因为它是从零减去“零上的数”，意大利数学家卡丹也把方程的负根称为“虚有的”，法国数学家韦达在解方程时把负根舍弃，另一位法国数学家帕斯卡则认为从0减去4纯粹是胡说，还有一位法国数学家安东尼・阿纳卡德提出一种有趣的说法来反对承认负数，他说他怀疑(-1):1=1:(-1)，因为-1小于+1，那么较小的数与较大的数比。怎么能等于较大的数与较小的数的比呢?这问题引起了许多人的争论。
　　第一个承认方程的负数根的是印度数学家拜斯迦罗(12世纪)，他首先提出，一元二次方程x2-45x=250的根是由x=50、z=-5给出的，不过，拜斯迦罗对于负根的有效性也表示有些怀疑，直到17世纪，法国数学家笛卡尔引进坐标系后，负数获得了几何解释，才逐渐被人们公认，负数在方程中也获得了合理的地位，
　　现代，人们运用负数解决问题的技巧越来越高明，这里单讲一个“椰子问题”。
　　5个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子，由于旅途劳累，大家顾不上椰子，很快就睡觉了，第一个水手醒来后，把椰子分成五堆，余一只给了猴子，自己藏了一堆又去睡觉了，第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只给猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家发现椰子已剩下不多了，各人心里有数，但谁也不说，为了公平，大家把余下的椰子又分成五堆，每人得一堆，这时，巧得很，又余一只，再给猴子，试问原先共有几只椰子?
　　这是一道世界有名的趣味数学题。
　　设最初共有椰子x只，天亮后大家一起分配时每人分得y只。
　　根据题意，可得
　　
　　这是一个不定方程组，化简后可得
　　1024x=15625y+11529(*)
　　它有无数组解，人们的兴趣是求其最小正整数解，如果用常规的方法(例如，用大衍求一术)来解，是很繁难的。
　　世界著名物理学家李政道在访问中国科技大学时。曾在少年班提到这个题目，并介绍了怀德海的解法。
　　怀德海是英国数理逻辑专家，对于上述椰子问题，他给出一个异乎寻常的解法。
　　首先，从方程(*)可看出，如果某数x1是方程的一个解，则x1+15625也是方程的解，数学直觉力强的人。可从方程一眼洞察到这一点，我们也用下面的方法来考察，由于原有的椰子曾被连续6次分成5堆，因此如果某数是该方程的一个解时，则把此数加上56(56=15625)后，仍旧是方程的解，通常人们解不定方程应用题，总是只注意它的正整数解，可是怀德海却与众不同，他的方法异乎寻常，他先借助负整数来帮忙，在找到一个负整数解之后，再过渡到正整数，就像在几何中引用辅助线、辅助角一样，
　　在方程(*)中，设y=-1，则可得
　　1024x=-4096，则X=4
　　既然-4是这个不定程的一个特解。则-4+15625也是方程的解，可见，所求的椰子数应是
　　-4+15625=15621(只)
　　妙!怀德海是怎样领悟到_4是不定方程(*)的一个特解的?他曾介绍了自己的思考过程：
　　“假定当初有-4只椰子，则在其中硬拿出一只来给猴子后，根据正负数减法，还剩下4-1=-5(只)，分成五堆。每堆便有-1只椰子，私自藏起一堆之后，还有四堆，每堆有-1只椰子，所有一共仍然是-4只椰子，这正好仍然回到没有分以前的情况，照这样分法，不仅5次、6次……可以一直分下去，都符合题目之要求，因此，在这个题目中，-4是一个关键的数”。
　　按照常理来说，每堆椰子数为负数是毫无意义的，但从纯数学的观点来看，却是能满足题中分配方法的，并且是能帮助解决问题的，它正像物理学中的负质量或虚功一样，在解决具体问题时是有用的。
　　怀德海的巧妙解法传到我国后，人们想起两千年前的“仙鹤图之谜”。
　　传说宝华寺曾藏有一幅鲜为人知的仙鹤图，这仙鹤图为数海法师所作，在他临终前秘传给他的一位弟子，并嘱咐他死后49天才能打开，数海法师圆寂后，这位弟子总想打开图看看，但又不愿违背师父遗嘱，过了42天，实在坚持不下去了，当天半夜，他打开图一看，原来是张仙鹤图，画面上有七棵松树，每棵松树上均有七只仙鹤，松树下面写了一个黑色的“七”字，但有一棵例外，这松树上一只仙鹤也没有，松树下面写了一个红色的“七”字。
　　红色的“七”字是什么意思呢?弟子们无法领悟，不过，因为数海法师神通广大，精通算术，人们相信，图中必有奥秘，后来，有了负数概念，有人猜测，红色的“七”字，表示负数“-7”，但是松树上有-7只仙鹤又是什么意思呢?始终是个谜，自从秦始皇焚书坑儒后，宝贵的仙鹤图失传，这事情几乎被人们遗忘了。
　　怀德海的绝招让人们看到了仙鹤图之谜的蛛丝马迹，既然一堆椰子的数目可以设想为负数，那么一棵松树上的仙鹤数目，也可设想为负数，可以大胆认为数海法师早就掌握了利用负数解决问题的高度技巧。
　　
　　(责任编辑　赵雄辉)