例谈解决区间三类题型的解法_椭圆题型与解法

　　【摘 要】区间是中职数学中一个比较简单的基本知识，它是不等式解集的另一种表示形式，为了方便学生掌握解集与区间的相互转换，同时能够快速准确地解决区间的交并问题，本人对这三类题型进行了总结归纳，并给出基本的解题思路和几个综合例子。
　　【关键词】区间 集合 思路
　　【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2011）24－0119－01
　　
　　一 将集合写成区间形式
　　解决思路：先将集合中的不等号开口统一向右，约定：左边空负无穷小，右边空正无穷大；然后分别写下左右数值，并用逗号隔开；最后确定符号，有等号中括号，没等号小括号，注意区间的符号开口是相对着的。将下列集合写成区间形式：
　　（1）｛x�4＞x≥－5｝ （2）｛x�x≥－2｝
　　（3）｛x�4＞x｝ （4）｛x�9＜x≤－10｝
　　分析：（1）、（2）、（3）中不等号开口向左，将它调整向右就相当于对它进行了一次翻转，应从最右的开始，分别调整为：（1）｛x�－5≤x＜4｝、（2）｛x�－2≤x｝、（3）｛x�x＜4｝，根据解题思路，就能够马上求解如下：
　　（1）［－5，4） （2）［－2，＋∞）
　　（3）（－∞，4） （4）（9，10］
　　错解：（1）－5，4 （2）（－2，＋∞）
　　（3）［－∞，4） （4）（9，10］
　　错因：（1）区间符号开口相反了；（2）－2处有等号应为中括号；（3）－∞处应为小括号，因为负无穷小的数是确定不下来的；（4）区间左右两边要用逗号隔开。
　　变式练习：将下列集合写成区间形式：
　　（1）｛x�3＞x≥－9｝ （2）｛x�x≥－9｝
　　（3）｛x�－24＞x｝ （4）｛x�9＜x≤－11｝
　　二 将区间写成集合形式
　　解决思路：首先写x；然后写下左右数值（无穷小左边空，无穷大右边空），中间为x；接着确定不等号，中括号有等号，小括号没等号，且不等号开口向右；最后在最外层写上花括号。将下列区间写成集合形式：
　　（1）［12，25） （2）（9，＋∞）
　　（3）（－∞，11］ （4）（9，10］
　　解：（1）｛x�12≤x＜25｝ （2）｛x�9＜x｝
　　（3）｛x�9＜ x ≤｝ （4）｛x�9＜ x ≤10｝
　　错解：（1）｛x�12≥x＞25｝ （2）｛x�9≤x｝
　　（3）｛x�11≤x｝ （4）｛x�9＜x≥10｝
　　错因：（1）不等号开口全部向左了；（2）9处小括号应为没等号；（3）11应在x处的右边，而左边才空；（4）不等号开口应全部向右。
　　变式练习：将下列区间写成集合形式：
　　（1）［11，29） （2）（19，＋∞）
　　（3）（－∞，21］ （4）（14，20］
　　三 区间的交并问题
　　对于区间的交并问题，在传统的解决办法中，首先要将它变形为不等式的解集，然后借助数轴法确定解的范围，然后再将其写成区间形式，同时用数轴法时要先在数轴上表示，然后找出交并部分，再表达出交并部分。这个过程非常繁琐，也不容易求解。笔者基于数轴的观察习惯，结合交并问题的特点，总结出数轴法的升级版――用眼观解法，其解决思路为：首先比较左右两部分的大小，（1）若左边某部分大于右边，此时交集为空集，而并集是直接将两部分并在一起即可；（2）若左边都小于右边，则我们依“大∩小”、“小∪大”定值即可。依据此法能够快速准确地确定答案，例如以下例题：求A∩B、A∪B：
　　（1）A＝［－23，－17］，B＝（17，23）
　　（2）A＝（－8，21），B＝［12，25］
　　（3）A＝（12，25］，B＝［9，20）
　　（4）A＝［－3，＋∞），B＝（－∞，9）
　　分析：（1）中右边的“17”大于左边的“－17”，此时交集为空集，并集直接合并；其余的左边部分都小于右边部分，故依“大∩小”、“小∪大”定值即可。
　　解：（1）A∩B＝ A∪B＝［－23，－17］∪（17，23）
　　（2）A∩B＝［12，21） A∪B＝（－8，25］
　　（3）A∩B＝［12，20） A∪B＝（9，25］
　　（4）A∩B＝［－3，9） A∪B＝（－∞，＋∞）
　　变式练习：求A∩B、A∪B：
　　（1）A＝（20，97］，B＝（17，123）
　　（2）A＝［18，201），B＝（42，225］
　　（3）A＝（11，29］，B＝［－∞，30）
　　（4）A＝［－9，＋∞），B＝（－∞，9）
　　已知A＝［5，19］，B＝［7，26），C＝（6，18），D＝［8，23］，求A∩B∩C∩D、A∪B∪C∪D。
　　分析：左边部分都小于右边部分，故依“大∩小”、“小∪大”定值即可。
　　解：A∩B∩C∩D＝［8，18） A∪B∪C∪D＝［5，26）
　　变式练习，已知A＝（2，39］，B＝［3，46），C＝（6，28），D＝［8，33］，E＝［10，56］，求A∩B∩C∩D∩E、A∪B∪C∪D∪E。
　　总之，区间的符号开口是相对的，有等号系中括号，没等号系小括号，负无穷小系左边空，正无穷大系右边空。对于区间的交并问题，依据用眼观解之法，能够一眼确定答案，非常简便。
　　参考文献
　　［1］人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学（第3册）［M］.北京：人民教育出版社，2003
　　［2］高晓兵.“遥望”交并问题［J］.考试周刊，2011（25）：82
　　〔责任编辑：高照〕