数学文化视角下高中数学教学的若干尝试_高中数学经典大题150道

　　“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。”
　　数学教学不能简单的等同于传统意义上的“解题教学”，数学文化视角下的高中数学教学不仅要关注数学的科学教育价值，而且要关注数学的人文教育价值，关注学生在学习过程中的情感、态度和价值观的形成与发展；不仅要关注数学问题的产生、演变，还要关注数学思维品质的培养，以及学生在学习思考过程中所产生的智力愉悦，使学生领悟数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙。那么，在高中数学教学中如何让数学栩栩如生?如何让知识形成过程活跃、愉快?如何让学生体验数学的价值，感受数学文化的魅力?笔者认为可以从以下几方面开展数学教学活动。
　　一、开展数学文化视角下的数学探究活动
　　案例：等比数列求和公式的推导
　　方案1：人教A必修5的推导：
　　一般地，对于等比数列�1，�2，�3，…，�n，…，
　　它的前n项和是Sn=�1+�2+…�n，
　　根据等比数列的通项公式，上式可写成
　　Sn=�1+�1q+�1q2+…+�1qn-2+�1qn-1，①
　　我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
　　qSn=�1q+�1q2+…+�1qn-1+�1qn，②
　　①-②得，（1-q）Sn=�1-�1qn，
　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
　　Sn=（q≠1）
　　因为�n=�1qn-1，所以上面的公式还可以写成Sn=（q≠1）
　　以上推导简练完整，是数学的演绎推理在课本中的体现，但遗憾的是教材对此推导之所以然一概从略，对于这种推导方式学生不明白怎么想到会将Sn乘以q?学生只有看完全部推导才知道为什么要这样做。如果我们以这样的方式教学，也许只能是停留在对具体的数学知识、数学技巧的灌输阶段，其结果是教一个，会一个，很难使学生做到举一反三。这里有两个问题需要思考：（1）课程是什么?（2）我们怎样教?传统的理论认为课程就是传授知识，即将前人的经验一代一代地传递下去，而现代课程理论则认为，课程还是一种对话、交流、体验和发展。请看第二种教学方案。
　　方案2：
　　（1）引导学生从特殊化入手去发现规律。
　　若q=1则Sn=n�1
　　若q≠1
　　当n=2时，S2=�1+�2=�1+�1q=�1（1+q）
　　当n=3时，S3=�1+�2+�3=�1（1+q+q2）
　　Sn=�1+�2+…+�n=�1（1+q+q2+…+qn-1）
　　上面的式子较长，能化简吗?
　　再从特殊化入手，我们知道（1-q）（1+q）=1-q2∴1+q=
　　（1-q）（1+q+q2）=1-q3∴1+q+q2=
　　于是S2=，S3=，按此规律S1可表示成S1=
　　根据以上分析，我们能猜想Sn的表达式吗?
　　此时学生已能猜想Sn=，（q≠1）
　　（探究和寻找规律是文化意蕴的基本表征，也是数学学习活动的必要途径和有效方法。数学史上许多重要的发现和创新都是源于大胆的猜想，源于对数学规律性本质的探究，因此，要培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力，鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的，这样的处理比课本上的处理要好。）
　　（2）证明
　　如何证明我们的猜想?
　　根据我们对上式的分析，实际上只要证明（1-q）Sn=�1（1-qn）即可
　　由于（1-q）Sn=Sn-qSn，这就启发我们将
　　Sn=�1+�1q+�1q2+…+�1qn-2+�1qn-1，①的两边同乘以q，得：
　　qSn=�1q+�1q2+…+�1qn-1+�1qn，②
　　①-②于是就有了课本的推导过程（并指出这一方法叫做错位相减法）。这样的教学过程实际上就是用“归纳―猜想―演绎”的教学方式取代课本纯演绎的教学方式，课堂上展开数学探究，学生真正是在做数学，此时对证明方法的探究还没有结束，教师还可以问学生是否还有其他的方法?教师将时间还给学生，让学生开展探究活动，相互之间进行对话交流，体验、感受、发现证题的方法，激发学习数学的热情，于是还可以得到以下两种证法：
　　证法2：由�2=�1q，�3=�2q，…，�n=�n-1q
　　得�1+�2+�3+…+�n=�1+（�1+�2+…+�n-1）q
　　∴Sn=�1+（Sn-�n）q故Sn=（q≠1）
　　证法3：Sn=�1+�2+…+�n
　　=［（1-q）（�1+�2+…+�n）］
　　=［（�1+�2+…+�n）-q（�1+�2+…+�n）］
　　=［�1+q（�1+�2+…+�n-1）-q（�1+�2+…+�n）］
　　=（q≠1）
　　以上教学过程突出思维的发展和能力的培养，体现探究精神的可贵与价值所在。任何认识活动，都是由发现问题、提出问题、解决问题的活动过程构成的，数学文化也包括人类在认识和发展数学的过程中体现出来的探索精神、进取精神和创新精神。
　　文化其实也是一种人类智慧，中学数学的每一个知识都是人类智慧的结晶也就都能体现数学文化。
　　目前，在课堂教学中我们相对比较薄弱的也正是探究能力的培养和文化背景的挖掘这两个方面，而这两者之间又有着密切的联系，因为一个富有探究价值的问题也往往具有较高的文化品位。方案2展示了知识的发生和发展过程，揭示了渗透于知识中的数学思想方法（从特殊到一般，归纳-猜想-证明等），在亲历探究过程中，学生经历挫折与失败、成功与兴奋，这其中的许多感受和体验是他们理解科学的本质、理解科学精神的意义与价值的基础。即使有些探究，学生走了弯路，遭遇挫折和艰辛，甚至最终也没有找到问题的答案而不得不求助于教师的帮助，但学生仍从这一亲历过程中学到了不少东西。在本案例中采用方案1只需一个课时便能教会学生解题，而方案2也许要用二课时，但俗话说十年树木、百年树人，如果我们的立足点不仅仅是解题，眼光放在学生今后更长的人生路上，到了那个时候如果学生还能感悟数学，那么现在多花一节课是值的。
　　二、开展数学文化视角下的“阅读材料”教学活动
　　普通高中课程标准实验教科书的每一章都编有阅读材料，如人教A版中的“观察与猜想”、“阅读与思考”、“探究与发现”等栏目，湘教版中的“问题探究”、“数学文化”、“多知道一点”等栏目。这些栏目的内容涉及数学史料、数学家的故事、数学趣闻、数学探究等多方面的知识，能够起到拓宽学生的知识面，丰富学生对数学发展的整体认识，提升学生数学素养的作用。
　　“阅读是学生通往知识世界的一个最重要的窗口”，数学教师应充分认识到数学阅读的教育功能，将数学阅读纳入到数学课堂教学基本环节中去，在数学文化的视角下开展数学教学活动。
　　案例：人教A必修3（P57）阅读与思考“一个著名的案例”
　　本阅读材料说的是一次著名的失败的统计调查，背景是1936年的美国总统选举，一份著名的“文学摘要”杂志进行了一次民意调查，调查的焦点是兰顿和罗斯福谁将当选下一届总统。
　　教学设计：引导学生通过阅读思考这一“著名案例”，以案例为问题情境展开对“随机抽样”有关内容的学习。教学过程展开如下：
　　活动一：阅读“一个著名的案例”，学习巩固有关概念。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　课堂上教师组织学生开展阅读活动，并请学生结合阅读材料回答有关问题。如：这里的总体是指全体合法选民组成的类，但是要调查每一个选民的意向并不实际，因此要在总体中抽取一部分选民来调查，这一部分选民就称为总体中的一个样本。
　　活动二：问题探究。
　　“文学摘要”杂志是怎样选取样本的?预测结果出错的原因是什么?
　　背景分析：1936年是美国选举年，“文学摘要”杂志社通过电话薄和车辆登记薄上的名单进行调查并预测兰顿会以53％对47％的压倒优势获胜，但结果是罗斯福以62％对38％的优势赢得大选。这么大的误差是怎么得来的?
　　学生结合阅读材料，经过分析认为：“文学摘要”杂志只对电话薄和车辆登记薄上的名单进行调查，这导致筛选掉那些没有电话或没有汽车的穷人，这样的样本没有代表性。教师对学生的分析给予肯定并指出抽样程序应以公平方式选择个体作为样本中的成员。那种在抽样过程中将某一类个体排除在样本之外所表现出的系统倾向称为选择偏性。
　　还有学生认为在选定的人群中也有可能存在不回答问卷的人，这也可能使结果产生偏差。教师赞同学生的认识，那些被选入样本的人不回答问卷称为不同答偏倚。实际上在收到问卷的一千万人中只有二百四十万人做了回答，这些人代表不了被测的一千万人，更不用说全体选民。
　　活动三：交流学习体会
　　教师请学生谈谈学习体会，让学生自由发言。学生能够各抒己见，有的学生提出可以在广场、大型商场等地进行随机抽样，有的学生提出可以采用电话回访的方法避免本案例中的不回答偏倚，也有的学生概括性地指出样本的选取要避免选择偏性，还要避免不回答偏性等等，学生体会到随机抽样的重要性。教师随后指出统计调查方法有统计报表制度、普查、抽样调查、重点调查、典型调查等，以下我们将学习简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，教师要求在学了随机抽样之后，请同学们根据自己感兴趣的问题，做一个问卷调查，并从中推断结论。
　　本节课通过对“阅读材料”的学习，学生意识到样本的抽取对统计工作的重要意义。通过对“著名案例”的分析，引导学生从数学的思维出发去分析问题和解决问题，同时也让学生感受到数学可以为人类文化提供方法论基础，在极大地丰富人类文化的同时，也推动着人类文化的发展。在教学过程中，教师可以根据学生的实际，对“阅读材料”进行合理的设计补充，“阅读材料”不仅可以让学生读一读，也可以让学生去做一做，用事实和数据说话，用数学的方法、观点来认识、理解、汲取知识和感受数学文化。
　　三、在数学文化视角下构筑亲近数学的多彩舞台
　　创建有利于激发学生学习潜能的教学环境，运用多样性的教学手段，在数学文化的视角下欣赏数学之美――融情，讲述数学历史――抒情，开展趣味性、实用性、多样性的数学活动――激情。如数学游戏、数学调查、数学讲座、数学竞赛、数学辩论、数学模型制作、几何图形设计、数学问题探究、数学建模等校本、研学活动，这些活动都能使学生认识数学，体验数学，感受数学文化，在活动中受到熏陶和磨炼。
　　研究性学习案例：为什么三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮?
　　［背景］湘教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3第八章介绍了概率的加法公式和事件的独立性，并将问题推广到n个事件两两互斥和n个相互独立的事件，目的是为了运用所学的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式解决一些简单的实际问题。
　　［问题］俗话说“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这是为什么?可以用数学的知识和方法加以解释和说明吗？
　　［研究］
　　（1）知识回顾
　　①概率的加法公式：如果Ω的事件A1，A2，…，Am两两互斥，则
　　P（A1∪A2∪…∪Am）=P（A1）+P（A2）+…+P（Am）
　　②如果实验的全集Ω1，Ω2，…Ωn是相互独立的，则对
　　A1?哿Ω1，A1?哿Ω2，…，An?哿Ωn，有
　　P（A1∩A2∩…∩An）=P（A1）P（A2）……P（An）.
　　（2）知识拓展
　　当A，B为非彼此互斥事件时，事件A，B中至少有一个发生的概率也有相应加法公式。
　　若A，B为任意两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）
　　一般地，对于任意的n个事件，有：
　　
　　当事件A1，A2，…，An两两互斥时，P（Ai∩Aj）=0，P（AiAjAk）=0，…，
　　P（A1∩A2∩…∩An）=0（i,j,k=1，2，…,n）
　　∴P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）
　　（3）问题研究
　　假定“臭皮匠”A、B、C独立解决问题的把握分别为P（A）、P（B）和P（C）。现测得P（A）=0.48，P（B）=0.52，P（C）=0.60，三位“臭皮匠”对问题的思考是各自独立的，但又非彼此互斥事件，那么问题能被三位“臭皮匠”之一解决的可能性大小是多少呢？
　　学生1的解答：由刚才的知识拓展可得
　　P（A∪B∪C）
　　=P（A）+P（B）+P（C）-P（A）P（B）-P（B）P（C）-P（A）P（C）+P（A）P（B）P（C）
　　=0.48+0.52+0.60-0.48×0.52-0.52×0.60-0.48×0.60+0.48×0.52×0.60
　　=0.90
　　学生2的解答：从对立事件来分析，三位“臭皮匠”中至少有一人解决问题的可能性是：
　　P（A∪B∪C）
　　=1-［1-P（A）］［1-P（B）］［1-P（C）］
　　=1-（1-0.48）（1-0.52）（1-0.60）
　　从以上分析可以看出，虽然三位“臭皮匠”各自解决问题的把握都不大（约只有一半的把握），但他们凑起来，就能顶上诸葛亮90％的把握，这也说明人多力量大的道理，设想当“臭皮匠”人数增多时，他们的智慧合在一起就可能超过诸葛亮。比如，我们班有50位同学，面对某一个难题，每个同学能解答的概率都只有0．2，现将全班同学团结起来，一起解这道题目，能解出这道题目的概率就是：
　　P=1-0.850=0.99998
　　学生对结果感到震惊，课堂的气氛都被调动起来了，可见团结就是力量，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”所言极是。学生充分感受到思维的乐趣，这种由思考而带来的智力愉悦正是数学文化的魅力。实践表明，开展数学文化视角下的研究性学习活动，为学生搭建亲近数学的多彩舞台，可以发挥数学的应用价值，让学生感受到生活离不开数学，数学就在生活之中，学生通过亲身的活动来发现问题和解决问题，提高了创新意识和实践能力，同时还可以培养学生严谨与求实的科学态度，以及自强不息，对遇到的每一个问题都有不懈的探究，不倦追求的意志。同时，这一教学活动还带给我们一些思考，如试卷的设计是否也可以适当涉及数学文化的内容?
　　新课标指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。”数学文化视角下的数学教学活动使学生拥有了更多的思考与探究，更多的亲历和感受，只要我们能够灵活设计教学环节，有意识地根据章节内容融合数学史、数学家的故事、数学应用以及数学思想方法于教学之中，并充分发挥网络、电脑等多媒体的辅助功能，就能让学生时时触摸到数学文化的脉搏，拥有数学的文化力量以及深厚的数学素养和开阔的数学视野。
　　（责任编辑：李君）
　　
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