“基本不等式”的内容教学分析及教学简案|基本不等式的变形公式

　　摘要:基本不等式≤是不等式中的第一个基本定理,是用于求函数的最值的一个最基本最有效方法,也是证明不等式的一个最基本方法;同时它还是“形”与“数”的又一次完美而有机的结合. 通过创设情景,从具体的实例出发,展开数学知识的发生、发展过程,使学生能从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.
　　关键字:新课标;基本不等式≤;领悟意图;体会用意;教学建议;教学简案
　　
　　《普通高中新课程标准教科书A数学⑤》(以下简称新课标)必修系列第三章的第4节“基本不等式≤”,它相对于原来《全日制普通高级中学数学教学大纲》是变化较大的一个内容. 原来的课程这部分是偏重于“应用这个基本不等式来证明其他的不等式”,对应用基本不等式来求最值只不过是一个例题而一笔带过,不很重视;而今新课标反过来了,几乎都是怎么应用基本不等式来求最值,这既符合不等式知识的认识规律,也对实际的应用有重要价值;因此教师在实施教学的过程中首先要学好新课标,其次对课程的内容、教学目标的要求、教学内容的处理等方面,要有一个清晰的认识. 本文主要根据本校(省首批一级重点中学,有60个教学班)的情况对“基本不等式≤”这部分内容谈一些个人的认识与理解、设想与建议,以供大家参考.
　　
　　关注新课标的要求,领悟新教材编写者的意图
　　1.?摇新课标对“基本不等式”内容的定位
　　基本不等式≤是不等式中的第一个基本定理,是用于求函数的最值的一个最基本最有效的方法,也是证明不等式的一个最基本方法;同时它还是“形”与“数”又一次完美而有机的结合.
　　通过对基本不等式的学习,使学生掌握不等式的基本定理,认识一个数学基本定理的发生发展过程,以及它的基本应用;从多个例题与习题中体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,培养学生探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力.
　　2. 新课标对“基本不等式”的要求
　　(1)通过第24届国际数学家大会的会标认识自然引入本课的知识点;对我国数学史上人物介绍,树立与增强爱国主义的情感;也通过本案引入使学生知道数学是自然的.
　　(2)通过对基本不等式定理的产生过程的学习及几何的探究使学生理解数学是严密的,几何与代数是完整有机的统一,同时有利于学生对基本不等式本质的认识和掌握.
　　(3)通过两个例题说明或解释使学生从理解到掌握与应用的转化,增加了他们的数学应用意识及培养了他们的数学应用能力,也明确了这个基本不等式的最广泛的应用就是用来求函数的最值,从而使学生养成在生活中会思考一些问题的最值化,把他们培养成为具有优良数学修养,生活勤俭的好学生.
　　上面是新课标对一般的普通高中学生的基本要求,当然对省一级重点高中还可以有更高的要求.
　　(4)在两个例题中使学生初步感知二元变量的函数的概念,以及增加了变量的约束条件会使变量从二元向一元转化.
　　(5)从例题和作业中我们可以继续深化和挖掘发现函数y=x+的图象与性质;以后要把这个函数当作基本函数来看待. 条件与基础更好一点学校可以进一步熟悉函数y=ax+(a>0,b>0)的图象与性质.
　　3. 体会新教材编写者的用意
　　笔者经常研究资料以及新课标与新课标下的课程,受益良多. 教材是编写者们智慧的结晶,也是他们教学与研究多年的积累经验的升华,更是集百家之长,精雕细琢的精品.
　　(1)编写者把“基本不等式”的应用重心已经做了转移,从老教材的用于“不等式的证明”到新课标的教材用于求“函数的最值”. 这既符合知识特点又符合“数学是有用的”新课标的要求,更符合近年来各地高考试卷命题需求与方向.
　　(2)编写过程中突出了“基本不等式”实际应用背景与应用价值. 同时对基础好的学校又设计了可深挖掘的知识,对应用可以更进一步放宽到数学理论上来,如求函数y=ax+(a>0,b>0)的图象与性质等.
　　(3)内容或教学过程的组织主要形式.
　　
　　由此可以看出编者的意图是通过创设情景,从具体的实例出发,展开数学知识的发生、发展过程,使学生能从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉;同时还要鼓励学生自主探索,并在独立思考、探索和交流的过程中,获得对数学较为全面的体验和理解.
　　4. 教学建议
　　我们在教学时候务必注意以下几个问题;
　　(1)要尊重书本编排,以适当的问题带动学生的学习,使他们在解决问题的过程中自主构建知识.
　　(2)强调学生的动手操作和主动参与,让他们在观察、操作、探究等活动中归纳和发现知识与结论,使学生学习方式的改进落在实处.
　　(3)重视数学知识与实际问题的联系,关注数学的背景,关注数学的应用,让学生体会数学是自然的并且是有用的.
　　(4)可以采用多种教学方法,如问题教学法,自学辅导法…本节可以分为两课时来学习. 下面是一节根据我校实际(学生基础较好),用“问题教学法”进行教学的教学简案,供大家参考.
　　一节新课标下“问题教学”法教学简案(包括对教案的评价)
　　“基本不等式”的应用(第二节)
　　(上一节已经完成了基本不等式内容的教学以及例1的讲解)
　　教学用书2004年度审定的国家高中新课标实验教科书《数学》⑤第110页.
　　教学目的(1)巩固基本不等式的概念;
　　(2)会初步运用基本不等式求最值;
　　(3)让学生自主发现函数y=x+的图象与性质.
　　点评在教学目的中就已经体现了新课标的理念――培养让学生自主地提出、分析和解决问题的能力.
　　教学过程
　　1. 首先回忆上一节我们学习了什么基础知识?
　　(上一节是学习了不等式,若a>0,b>0,则不等式≥成立)
　　2. 上一节结束时,我留给了你们两个问题.
　　(问题1. 第110页例1:①菜园的长与宽的积一定,为何长与宽相等时,周长最短?②菜园的周长一定,为何长与宽相等时,面积最大?
　　问题2. 第114页练习1:当x>0时,x+何时取最小值?与基本不等式有什么关系?)
　　点评问题教学法的问题的提出可以在教学任何时候,包括一节课结束时候可以留下问题;问题的解决也可以在任何时候,包括在上课开始时对上一节课遗留的问题进行解决从而引入新课,便于课程连续和上一节课知识的深化.
　　新课开始
　　1. 由上面问题1,今天你们还能提出与上面相似的实际问题吗?
　　每一个同学都举一个实际问题,要求:①有条件和将要解决的目标;②能用到刚学习的基本不等式.
　　2. 请三位同学说一下自己想到的实际问题.
　　(分析每一个问题的条件与目标,及用基本不等式解决的方法)
　　3. 各位同学都来解决第114页练习2、3、4.
　　(请三位同学来上面表演解决过程,教师分析过程)
　　4. 你们提出的问题与第114页练习2、3、4有区别吗?有相似吗?
　　点评把上一节课的问题解决达到了两个目的――复习与新问题的产生;新问题的产生完全符合问题的探究性与目的性原则.
　　例题2作示范
　　1. 全体同学打开教材第113页例2,先审题,自己思考解决思路.
　　2. 把课本的解题过程阅读落实.
　　3. 这些问题解决你都能使用两个未知数x和y了吗?
　　能找出x与y的关系(条件式)吗?怎样使用基本不等式?等号会成立吗?
　　4. 使用基本不等式时,条件是什么?结论是什么?
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　　点评问题教学法的课程模式可以与其他教学模式有机结合;这里就是在教师指导下,学生自主学习的模式.
　　返回课开始时提出的问题2
　　教材第114页练习1:若x>0,当x取什么值时,x+值最小?最小值是什么?
　　1. 同学们思考一下,有什么新的知识内容可挖掘?大胆联想,联系函数.
　　(可以得出,实质上练习1可以转化为“y=x+,x>0的最小值是多少?”)
　　2. 那么,谁能发现y=x+(x>0)的图象特征?能证明吗?
　　注意在x∈(0,1]时,单调递减,在x∈[1,+∞)上单调递增.
　　3. 当x很大时,x+与x的值相差多少,举例说明.
　　(x很大时,x+值几乎与x值一样,如x=100 000时,x+≈x)
　　4. x很大时,x+≈x,即y=x+≈x.请同学大胆联想函数y=x与y=x+的图象关系.
　　(可以猜得y=x是y=x+的渐近线)?摇
　　5. 你现在能得出y=x+(x>0)的图象了吗?可以用描点法试一下.
　　(教师用多媒体亮出y=x+(x>0)的图象)
　　6. 你能得出y=x+(x≠0)的图象吗?能总结这一函数的性质吗?
　　点评这里已经到了课程的高潮了;在教师引导以及精心创设提出问题的情景下,学生提出了新问题,也顺利解决了新的问题,预期达到了教学目的,完成了教学任务.
　　结束
　　(1)本节课我们学习了什么?
　　(2)我留下一个问题.
　　①你能作出y=x+的图象吗?能说出它的单调性吗?
　　②你能作出y=4x+的图象吗?能说出它的单调性吗?
　　(3)上交作业:教材第114页B组部分.
　　点评这里的作业布置与前节有点相似,也留下了本节课更复杂的问题,让基础比较好的同学,数学能力强的同学能有更多的知识空间去探索. 本节课程是比较典型的问题教学法模式,它符合学生认识的规律和教学原则;结构严密,符合教材和课型特点;内容针对性,启发性,层次性强,立意紧扣教材,高于教材,各环节过度自然;是一节培养学生提出,分析和解决问题能力的好模式.
　　附教材第112页,例1:
　　(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短?最短的篱笆是多少?
　　(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?
　　教材第113页,例2:
　　某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?
　　练习
　　1. 若x>0,当x取什么值时,x+的值最小?最小值是多少?
　　2. 已知直角三角形的面积等于50,两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小?最小值是多少?
　　3. 用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
　　4. 做一个体积为32 m3,高为2 m的长方体纸盒,底面的长与宽取什么值时用纸最少?
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