_例谈高中数学探究性学习问题提出的策略

　　思考始于问题，有问题才会去研究，所以问题在探究性学习中起着引领方向的作用。高中数学新课标明确指出数学探究课题的选择是完成探究学习的关键。宁连华等通过研究认为：“数学探究学习的主流形式不是调查、实验性活动，而是突出表现在以思维活动为特征的问题探索或解难题范畴。”因此，如何提出合适的探究问题就成为高中师生在数学探究性学习中面临的首要问题。
　　一、 通过试验、观察、归纳提出探究问题
　　通过试验、观察、归纳提出问题就是指通过试验得到具体的数学事实，再经过仔细查看，思考分析，概括提出其中蕴含的一般原理，最后归结为猜想或问题的活动。应用此策略提出问题需要以对大量数学实例的仔细观察和试验为基础，需要有一双尖锐的眼睛，大胆的想象和不怕辛苦的顽强毅力，只有这样才能发现事物之中存在的规律，提出真正有价值的问题。
　　例，已知：如图1，圆内接正五边形A1A2A3A4A5，点P为劣弧上一点。
　　求证：PA13+PA33+PA53=PA23+PA43 （1）
　　观察（1）式可知，等式左边为由点P出发的所有奇数条边的立方构成，右边由点P出发的所有偶数条边的立方构成，这是圆内接正五边形时的情况。通过观察自然联想到如下问题：对于正三边形、正四边形以及正n边形时的情况又如何呢？是否也有类似的等式成立呢？
　　如图2， 圆内接正三角形A1A2A3，点P为上一点，由于点A1、A2、A3、P四点共圆，由托勒密定理可知PA1×A3A2+PA3×A1A2=PA2×A3A1
　　即PA1+PA3=PA2（2）
　　我们对比一下（1）式和（2）式，发现由点P出发的所有奇数条边的和等于所有偶数条边的和，而仅仅次数由1变为了3！一个是圆内接正三角形，另一个是圆内接正五边形。1和3之间有2，而正三角形和正五边形之间有正四边形，这促使我们提出如下猜想。
　　如图3， 圆内接正四边形A1A2A3A4，点P为劣弧上一点，则有下式成立PA12+PA32=PA22+PA42（3）
　　那么上述猜想是否成立呢？答案是肯定的，下面我们给出一个严格的证明！
　　连接A1A3和A2A4，因为A1A2A3A4为圆内接正四边形，所以A1A3、A2A4均为此圆的直径， 于是A1A3=A2A4
　　又由勾股定理可知PA12+PA32=A1A32，PA22+PA42=A2A42
　　所以 PA12+PA32=PA22+PA42
　　对比（1）式、（2）式和（3）式，可以发现由点P出发的所有奇数条边的和等于所有偶数条边的和，而仅仅次数由1变为2再变为3，对应着正三角形变为正四边形再变为正五边形，而3-1=4-2=5-3=2！
　　真是太奇妙了！如此奇妙的规律使我们很难相信对于正n边形它是不成立的。至此，通过试验、观察、归纳，一个有趣的探究就被提出来了。
　　猜想 设A1A2A3L An为圆内接正n（n≥3）边形，点P为劣弧A1An上一点，
　　求证：
　　PA1n-2+PA3n-2+PA5n-2+L=PA2n-2+PA4n-2+L+PA6n-2+L
　　二、 通过联想、类比、猜测提出探究问题
　　通过联想、类比、猜测提出问题就是要把类似的未知数学对象和已知数学对象作比较，进而根据已知数学对象的性质推测未知数学对象的性质的方法。我国著名数学家徐利治教授认为：“只有在思维方式上善于融会贯通，举一反三，既有广泛的联想能力，又有对不同数学领域之间内在联系的敏锐洞察力，才有希望通过巧妙地类比，提出有希望的问题。”因此，应用此策略提出问题需要选取合适的类比对象，抓住两类事物的共同之处和不同之处，进行合理的猜测，提出问题。
　　例，三角形与三棱锥的类比问题
　　把三角形和三棱锥类比，圆和球进行类比，通过类比联想可以得到许多有趣的问题。我们知道三角形三边和三角形的面积有著名的秦九韶-海伦公式
　　S=，三角形内切圆半径和面积有公式S△ABC=rc，其中P为三角形ABC的周长，r为内切圆半径。通过把三角形的内切圆和三棱锥的内切球类比可提出如下问题。
　　问题1 三棱锥的体积和它的六条棱长有什么样的关系呢？是否也有类似的公式呢？
　　问题2 三棱锥的体积和它的内切球半径有什么样的关系呢？是否也有类似的公式呢？
　　三角形内切圆的圆心是其三个内角的角平分线的交点，通过把三角形内切圆的圆心和三棱锥内切球的球心类比，我们可以提出如下问题。
　　问题3 三棱锥的内切球的球心是否也是某个特殊的点呢？
　　通过把三角形外接圆和三棱锥外接球类比，我们可以提出如下问题。
　　问题4三棱锥的外接球的半径与其六条棱的长有什么样的关系呢？
　　三角形外接圆的圆心是其三边中垂线的交点，通过把三角形的外接圆和三棱锥的外接球类比，我们可以提出如下问题。
　　问题5三棱锥的外接球的球心是否也是某个特殊的点呢？
　　我们知道三角形存在旁切圆，类比可知三棱锥存在旁切球，把三角形的旁切圆和三棱锥的旁切球类比，我们可以提出如下问题。
　　问题6三棱锥的旁切球的半径与其六条棱的长有什么关系呢？
　　三角形的旁切圆是其两个外角平分线的交点，通过把三角形的旁切圆和三棱锥的旁切球类比，我们可以提出如下问题。
　　问题7三棱锥的旁切球的球心是否也是某个特殊的点呢？
　　三、 通过变换条件或结论提出探究问题
　　通过变换条件提出问题就是通过改变已知的条件或结论进而提出问题的方法。其实质与著名的“否定假设法”有点类似。需要指出的是“否定假设法”是通过既改变条件又改变结论来提出问题的，而“变换条件或结论法”可以是既改变条件又改变结论来提出问题，也可以是不改变条件而只改变结论来提出问题，甚至还可以是不改变结论只改变条件来提出问题。因此，我们认为“变换条件或结论法”比“否定假设法”概括性更强，应用范围更广，在提出问题方面更有效。
　　例，设a，b，c＞0，且a+b+c=1，证明（a+）（b+）（c+）≥
　　这是一个高中数学不等式中常见的问题，我们采用“变换条件或结论的方法”，以该不等式为基础，可以得到一大批更一般、更深刻的猜想和问题。
　　原不等式是三元不等式，如果是n元的呢？我们可以提出如下猜想。
　　问题1 设x1，x2，…，xn＞0且x1+x2+…+xn，=1证明
　　（x1+）（x2+）……（xn+）≥
　　原不等式变元的次数都是1，如果不是1呢？我们可以提出如下猜想。
　　问题2 设a，b，c＞0，且a+b+c=1，k∈N+，证明
　　（ak+）（bk+）（ck+）≥（3k+）3
　　原不等式变元之间是相加的关系，如果是相减呢？我们可以提出如下猜想。
　　问题3 设a，b，c＞0，且a+b+c=1，k∈N+，证明
　　（-ak）（-bk）（-ck）≥（3k-）3
　　原不等式变元的次数都是相同的，如果不同呢？我们可以提出如下猜想。
　　问题4 设a，b，c＞0，且a+b+c=1，证明
　　（a+）（b+）（c+）≥（）3
　　原不等式变元的次数都是自然数，如果是有理数或是实数呢？我们可以提出如下猜想。
　　问题5 设a，b，c＞0，且a+b+c=1，k≥1且k∈Q+，证明
　　（ak+）（bk+）（ck+）≥（3k+）3
　　原不等式变元的系数都是1，如果不是1呢？我们可以提出如下猜想。
　　问题6 设a，b，c＞0，且a+b+c=1，λ≥1，证明
　　（a+）（b+）（c+）≥（3+）3
　　当然，综合运用变元数、次数、加减号、参变量等因素，我们还可以提出更多的探究问题，限于篇幅不再赘述。
　　四、 通过抽象、概括、数学化提出探究问题
　　通过抽象、概括、数学化提出问题就是把实际问题进行抽象，舍弃非本质的属性得到本质的认识，进而把一个实际问题转化为数学问题或者通过概括多个问题的共同的特点进而统一为一个一般性的数学问题的过程。此方法所研究的问题大都是一些实际问题，通过对实际问题的抽象、概括、数学化，进而把一个实际问题转化为一个数学问题，并且建立较为恰当的数学模型，以便对原问题研究，数学建模活动即为此策略的具体体现。
　　例，液态奶纸质包装盒中的数学思考
　　液态奶是日常生活中的常见的饮品之一，不同公司的产品其包装形状也各有差别，通过对实际问题的抽象概括，可以提出如下问题。
　　问题1如何设计液态奶包装盒才最节约包装材料呢？
　　生活中常见的包装盒都是由长方形纸板折叠而成的，这启示提出如下的问题。
　　问题2怎样设计长方形纸板的数据才最省材料呢？
　　通过抽象、概括和数学化，可以建立该问题的数学模型――最优化模型，并从数学美的角度分析可知，采用的长、宽、高比例设计时最为合理。通过上述方法进行的数学建模活动既培养了学生的问题意识又提高了学生的数学应用能力，可谓一举两得。
　　教师在指导学生数学探究性学习的过程中，通过上述四个策略可以有效地提出许多问题和猜想，为学生提供丰富的探究课题。然而需要指出的是，并不是每一个问题都是适合高中生探究的，教师要帮助学生选择难易适度的问题，这样才能真正实现数学探究性学习。
　　参考文献
　　[1] 宁连华，王作鹏，李桂强.数学探究学习过程中的自我监控活动研究.数学教育学报，2004，13（2）：37-38．
　　[2] 数学问题与解答.数学教学，2010（2）：46-47．
　　[3] 徐利治，王前.数学与思维.大连：大连理工大学出版社，2008.98．
　　[4] 郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学思维与数学方法论．成都：四川教育出版社，2001.435-436．
　　[5] 杨祉媛，杨飞.液态奶包装盒中的数学思考.数学通报，2010，49（7）：46-49．
　　（责任编辑刘永庆）
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