圆的重要定理在抛物线上的推广_抛物线定理

　　广东陆丰龙山中学516500 　　 　　摘要：本文通过将圆中的重要定理在抛物线上进行了深层次的推广，进而得到抛物线上的相交弦定理、切割线定理及切线长定理．
　　关键字：相交弦定理；切割线定理；切线长定理
　　
　　1. 有关引理
　　引理1 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，过F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|=．
　　引理2 设P（x0，y0）不在抛物线y2=2px（p>0）上，过P作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，则PA・PB=.
　　引理3 设P（x0，y0）为抛物线y2=2px（p>0）外的一点，过P作抛物线的切线PA（切点为A），且PA的倾斜角为θ，则|PA|2=.
　　下面只证引理2
　　证明 设直线AB的参数方程为
　　x=x0+tcosθ，
　　y=y0+tsinθ，
　　把上述两式代入y2=2px中，
　　得（y0+tsinθ）2=2p（x0+tcosθ），
　　所以t2sin2θ+2（y0sinθ-pcosθ）t+y-2px0=0.
　　设方程的两根为t1，t2，则
　　t1t2=
　　所以PA・PB=t1・t2
　　2. 圆的重要定理在抛物线上的推广
　　2．1抛物线上的相交弦定理
　　定理1 AB与A1B1为抛物线y2=2px（p>0）中两条交于点P的弦（P为抛物线内的一点）． 设AB，A1B1的倾斜角分别为θ1，θ2 ． l，l1是与AB，A1B1分别平行的焦点弦的长度，则
　　（1）=；
　　（2）=；
　　（3）若点P不在x轴上，且直线AB，A1B1分别与x轴交于Q，Q1，则
　　=；
　　（4）|PA|・|PB|=|PA1|・|PB1|⇔θ+θ1=π.
　　证明 由引理1和2，有
　　2.2 抛物线上的切割线定理
　　定理2 设点P为抛物线y2=2px（p>0）外的一点． 过P引抛物线的切线PA（切点为A），过P引抛物线的两割线PA1B1和PA2B2分别交抛物线于A1，B1和A2，B2两点，设直线PA，PA1，PA2的倾斜角分别为θ，θ1，θ2 ． l，l1，l2是分别与直线PA，PA1，PA2平行的焦点弦的长度． 则
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