线性代数行列式 [线性代数中行列式教学的思考]

　　 [摘要] 线性代数是大学新生的公共基础课程，行列式是线性代数的第一课，在很大程度上影响了线性代数的教学。适当调整线性代数的教学次序，多角度调整教学将有利于提高对线性代数的正确认识，改善线性代数的教学。
　　[关键词] 线性代数 行列式 矩阵 向量 秩
　　
　　线性代数是理工与经管类科必修的公共基础理论课程，该课程的教学目标是通过该门课程的教学使学生掌握线性代数的基本概念，基本理论和基本运算方法，为学习后继课程打下坚实的基础；同时通过本课程的教学使学生领会代数学的基本思想，学会将实际问题代数化，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。行列式是线性代数的开篇第一课，面对的是新入学的大学生，往往是“一招致命”，把学生的兴趣和积极性打掉，以至于学生还没有领略到“线性”就已经“谈线代色变”。
　　一、行列式教学内容的组成
　　行列式作为线性代数的开篇第一课，是线性代数的重要组成部分。行列式的教学内容一般包括：定义、性质、按行（列）展开、Crammer法则。
　　行列式的定义大多采用排列、逆序的定义方式，这种定义方式容易证明行列式的相关性质。采用这种方式要求必须要理解行列式展开式的通项及组成，必须知道分别按行标、列标、任意排列通项组成的定义式，确认行列式是数或多项式，知道上下三角、对角行列式的计算。很少有书采用由低阶到高阶的定义方式。行列式的性质，多数教科书都是一致的。行列式的计算却因为我们对于按行（列）展开的教学要求的不同，难易程度差别很大，也正是因为很多同学在这部分掉下队造成学习效果不好的。而最后一部分Crammer法则却是不得不提及的内容，因为这一部分得出的有关系数行列式不为0的线性方程组有唯一解的结论在后面线性理论中具有决定性作用。
　　二、线性代数中行列式的应用
　　虽然说行列式是在代数中的教学内容，它完全可以用空间中几何图形的面积、体积来定义，也可以用多元函数来定义，当然这些也是行列式来源。它在几何、函数分析等方面有很多应用。
　　在线性代数中，行列式是作为刻画矩阵的秩的工具出现的。一般来说，线性代数中的矩阵的秩有两种定义方式：行（列）向量组的极大线性无关组，非0子式的的最高阶数。而矩阵的秩是线性代数中的核心概念，它串联了向量的线性理论和线性方程组求解、矩阵相似、矩阵合同等概念。在证明矩阵的行秩等于列秩时需要应用Crammer法则（Crammer法则应用仅此而已）。同时行列式在后面判断矩阵可逆及求逆矩阵、求矩阵的特征值时、判断正定矩阵时有所应用。
　　三、行列式教学中面临的问题
　　行列式作为线性代数的第一课，往往面临独特的困难，教学效果很难保证，以至于部分学生从开始就丧失了对线性代数的兴趣。主要问题：�（1）学�生一般属于新入学大学生，往往不能尽快适应大学的学习环境和特点，普遍缺乏大学的学习方法、策略以及思维技能，这给他们的学习带来很大的困难，需要教师为他们指点迷津；（2）虽然中学有很多学校采用了多媒体辅助教学，但高校近几年压缩课时，线性代数的教学往往也是采用简单的讲授法教学，教学进度很快。学生来源和起点不同造成学习能力和水平参差不齐，需要教师尽快帮他们调整精力分配，加大对数学类课程的投入；（3）越来越多的青年教师进入教学岗位，他们的科研水平很高，但因他们并不一定是代数类方向的或者没有系统把握线性代数的章节逻辑关系，甚或个别老师教学投入不足，也是造成教学效果不好的原因；（4）线性代数顾名思义是研究线性问题的数学，却是因线性概念及理论的滞后，造成学生对于行列式计算的难度认识不足，不能正确分析行列式的特点，无法体会行列式里面线性关系，这是造成行列式一章教学效果不好的更为深层次的原因；（5）行列式学习必须要结合行列式的特点分别分析采用办法，而现实是过多采用多媒体教学，固化了几种算法，学生无法在课堂上深切体会各种方法的优劣，自己单独做题时就会有盲目的感觉，甚至无从下手，更谈不上学生创新能力的培养。当然在行列式教学中遇到的问题有一部分会随着师生之间的熟悉，对高校学习生活的习惯，绝大部分同学会改进他们的学习状况。但是，关于行列式的认识却因对线性理论的学习滞后而给很多同学带来困扰，部分同学甚至是考完了线性代数还搞不懂各章节与行列式的关系。
　　四、改进行列式的教学
　　如何改进行列式这一部分的教学，牵涉到如何培养学生对线性代数课程的完整正确的认识，只有真正认识到行列式只不过是线性代数的工具才能去寻找核心的概念和理论，确立对线性理论和应用的全面的认识。
　　1.调整教学内容的编排次序，适当将向量线性相关概念与线性方程组的求解及矩阵的初等变换提前，确立向量线性关系与所对应方程组及矩阵初等变换的的总体目标就是简化矩阵，熟悉三种行（列）初等变换，然后引出行列式概念。这样做可以让学生认识到向量的线性相关对它所对应矩阵的行（列）元素的影响，认识到所对应的矩阵的初等变换与所对应的行列式之间的关系，主动发现向量组的秩与矩阵的秩及非0行列式之间的关系。
　　2.改进对行列式教学的要求，适当降低行列式的难度。尤其是将线性问题提前后，学生将更习惯采用矩阵的初等变换而非行列式解决问题。事实上，在线性代数中的主要运算很多可以有矩阵的初等变换代替行列式，并不增加难度。
　　3.提高老师对课程的认识。从线性空间开始，利用线性变换的刻画系统整理线性代数的相关理论，真正把握线性代数的完整的理论结构和主要的运算。结合教学大纲，建立详细完善的教学培养目标，编制内容丰富，例题经典，解题方法多样的教学课件。
　　4.提高与学生交流的质量。分析学生的来源，迅速调整学生心态，积极引导学生在学习中加大精力投入，指导学生主动进行课前预习和课后复习，帮助学生提高发现问题和解决问题能力。
　　5.发挥教学网站的作用，进行更多的教学细节的交流，努力从学生可接受的范围内寻求线性代数的应用例子。同时也可以借助计算软件，让学生亲身体会计算机是如何计算行列式的，提高学生对线性代数的兴趣，培养他们积极探究的能力。
　　6.开展数学史讲座，积极引导学生形成对数学的正确的认识，打破绝大多数学生对“数学就是计算技巧”的错误认识。
　　7.积极探索对学生的考核方式方法，努力形成分层次教学和考核，更好地适应学生的差异。
　　这样从多角度认识和改进教学，将有助于我们提高因材施教的水平，确立合理的教学目标，形成科学的课程质量测控体系，也可以提高学生的学习兴趣，培养他们的创新能力。
　　现在多数高校都在积极探索压缩理论课时，增加学生素质选修课时，增强学生实践能力的实践课时，线性代数也面临同样的问题。只要我们努力切实完整正确地把握线性代数的理论结构，就能形成对线性代数的正确认识，就能搞好行列式的教学。
　　参考文献：
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